（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练专题3.5 直线与双曲线的位置关系（解析版）.docxVIP

专题3.5直线与双曲线的位置关系-重难点题型精讲

1．直线与双曲线的位置关系

(1)研究直线与双曲线的位置关系：

一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.

①代入②得.

当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

当0，即时，=.

???????0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；

=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；

0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.

(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；

②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件0x1+x20x

2．弦长问题

①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还

是在y轴上，双曲线的通径总等于.

3．“中点弦问题”

“设而不求”法解决中点弦问题：

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的

这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将

转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.

4．双曲线的第二定义

平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e1)时，

这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.

5．双曲线与其他知识交汇问题

双曲线通常与圆、椭圆、抛物线或向量、不等式、三角函数相联系综合考查，应用中应注意对知识的

综合及分析.

双曲线的标准方程和几何性质中涉及一些基本量，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何

性质有很大帮助.例如，“”可以通过来证明，也可以通过来证

明，证明解析几何问题的方法具有多样性.

6．双曲线有关的应用问题

(1)解答与双曲线有关的应用问题时，除了要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要

注意双曲线的定义及性质的灵活应用.

(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.

【题型1判断直线与双曲线的位置关系】

【方法点拨】

结合具体条件，根据直线与双曲线的三种位置关系，进行判断，即可得解.

【例1】“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（????）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【解题思路】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.

【解答过程】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与进行平行.故充分性不满足；

必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.

所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.

故选：B.

【变式1-1】直线y=32x+2

A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定

【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x=?13

【解答过程】由y=32x+2x24

所以x=?13

又双曲线x24

y=3

所以直线和双曲线的位置关系为相交．

故选：B.

【变式1-2】直线y=kx+2与双曲线x2?y

A．k=±1 B．k=±3或k=±2 C．k=±1或k=±3

【解题思路】直接联立直线方程和双曲线方程，分二次项系数为0和不为0分析，二次项系数不为0时需要得到的二次方程的判别式等于0．

【解答过程】联立y=kx+2x2?y

当1?k2=0，即k=±1时，方程①化为一次方程，直线y=kx+2

当1?k2≠0，即k≠±1时，要使直线y=kx+2与双曲线x2?y2

综上，使直线y=kx+2与双曲线x2?y2=2有且只有一个交点的实数k

故选C.

【变式1-3】过点P（4，4）且与双曲线x216?

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【解题思路】把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类讨论．

【解答过程】解；双曲线方程为：x2

当k不存在时，直线为x＝4，与x216?y

当k存在时，直线为：y＝k（x﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：

9?16k

（1）若9?16k2＝0，k=±34时，y＝±34（x﹣4）

所以与双曲线只有1个公共点，

（2