（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练专题3.1 椭圆及其标准方程（原卷版）.docxVIP

专题3.1椭圆及其标准方程-重难点题型精讲

1．椭圆的定义

(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫

作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={,2a}.

2．椭圆的标准方程

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

3．椭圆方程的求解

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待

定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点

在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A0,B0,A≠B)，再解答.

4．椭圆的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——

焦点三角形，如图所示.

(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.

【题型1曲线方程与椭圆】

【方法点拨】

根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.

【例1】已知曲线C:x24a+y23a+2

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【变式1-1】“1m5”是“方程x2m?1+

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式1-2】已知方程x225?m+y2m+9=1

A．?9m25 B．?8m25

C．9m25 D．8m25

【变式1-3】若方程x225?k+y2k?9=1

A．9,25 B．?∞,9∪25,+

【题型2椭圆的定义】

【方法点拨】

利用椭圆的定义解决涉及焦点相关问题的计算：一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，

如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题，另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何

时应用、怎样应用.

【例2】点P为椭圆4x2+y2=16上一点，F1，F

A．13 B．1 C．7 D．5

【变式2-1】设P为椭圆C:x216+y212=1上的点，F1，F

A．32 B．2 C．56

【变式2-2】已知F1，F2是椭圆C:x29+y23

A．13 B．12 C．9 D．6

【变式2-3】已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,

A．30° B．60° C．120° D．150°

【题型3椭圆方程的求解】

【方法点拨】

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

根据所给条件设出椭圆的标准方程，代入点，即可得解.

【例3】已知椭圆的两个焦点为F1(?5,0)，F2(5,0)，

A．x27+y22=1 B．

【变式3-1】已知椭圆的两个焦点的坐标分别是?22,0和22,0，且椭圆经过点

A．x216+

C．x224+

【变式3-2】已知椭圆C的一个焦点F（0，-5），P为C上一点，满足|OP|=|OF|,|PF|=4则椭圆C的标准方程为（）

A．y215+

C．y212+

【变式3-3】椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（????）

A．x2169+y2144＝1 B．x2144+y2169＝1 C．

【题型4动点轨迹方程的求法】

【方法点拨】

解椭圆有关的动点轨迹问题主要有以下两种思路：

(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表

达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.

(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.

【例4】已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（????）

A．x24+y23＝1(x≠±2)B．y24+x23＝1(y≠±2)

【变式4-1】若动点Mx,y始终满足关系式x2+(y+2)2

A．x216+y212=1 B．

【变式4-2】已知圆C的方程为x?12+y2=16，B?1,0，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线

A．x216+y29=1 B．

【变式4-3】已知△ABC的周长等于10，BC=4，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点A的