高考数学二轮复习专项突破（全国版理）函数的新定义问题.pdfVIP

微重点1函数的新定义问题

函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一

般是以“新定义型”函数的定义或性质载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生

的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力.

考点一特征函数

考向1高斯函数

例I2（022.长治模拟）已知函数/口）=工一团（[可表示不超过x的最大整数，例如

[-0.5]=-1）,则以下关于/U）的性质说法错误的是（）

A.述力是R上的增函数

B.是周期函数

C.7U）是非奇非偶函数

D.危）的值域是[0.1）

答案A

解析对于A,人1）=42）=0,故A错误；

对于B,因7U+l）=x+l—[x+l]=x—口]=/5），所以凡r）是以1周期的周期函数，故B

正确；

对于C,川.2）=1.2—1=0.2,人-1.2）=—1.2—-（2）=0.8,/.2）工/一1.2）,所以危）是非

奇非偶函数，故C正确；

对于D,根据区的定义可得4则OWA—[X]V1,即府）的值域是[0,1）,故D正确.

考向2狄利克雷函数

例2德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名

[1,x有理数，

字命名的函数41）=八6工E岭称狄利克雷函数，则关于函数7U）,下列说法正确的

[0,X无理数，

是（）

A.火好的定义域0｛,1｝

B._/u）的值域[0』]

C.欢工））=0

D.任意一个非零有理数7,4丫+。=/5）对任意XWR恒成立

答案D

I（,x有理数，

解析因人r）=|以#而反

0（,x无理数，

所以函数的定义域R,值域0｛』｝,故A,B错误;

因yu)=o或./u)=i,且o与i均有理数，

所以.软幻)=x0)=1或用3)=/U)=i，故c错误；

对于任意一个非零有理数r,若x有理数，

则x+7也有理数，则/(x+7)=/U)=l;

若X无理数，则x+7也无理数，则/u+7)=/u)=o,

综上可得，任意一个非零有理数7,yu+n=/(x)对任意x£R恒成立，故D正确.

考向3黎曼函数

例3(2022・新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德・黎曼发现并提出，

在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在0［』］上，其解析式如下：R(x)=

・5k肌4都是正整数，，是既约真分数),

.0,x=0,1或0［,1］上的无理数.

若函数兀1)是定义在R」二的奇函数，且对任意x都有人2+工)+42—幻=0,当x£0［,l］时，,火外

=〃3),贝1］心022)+/(一考/.

答案Y

解析・・7(2+x)+42—x)=0,

../(2+x)=—fl2—x).

又yu)是奇函数，

・\/a+2)=/(x_2),••爪4+x)=/(x),

・•・,“©的一个周期4.

•・7(2+x)t/(2r)=0,

二令x=0,可得12)=0,

：.fl2022)=fl4X505+2)=f