高考数学二轮复习专项突破（全国版理）培优点5 平面向量“奔驰定理”.pdfVIP

培优点5平面向量“奔驰定理”

平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查.平

面向量的“驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相

关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用.

考点一平面向量“驰定理”

定理：如图，已知P为△A8C内一点，则有心产8c•成+S△网c•丽+S△川8・元=0.

例1已知。是△ABC内部一点，满足万1+2励+机次=0,且群纥则实数相等于（）

△ABC

A.2B.3c.4D.5

答案C

解析由驰定理得S^BOCOA^-S^OCOB+S^OBOC=0,

又晶+25h+〃?元=0,

:.SABOC:SAAOC:S^AOB=1：2：in.

.SAAOB〃？4〃/曰

••六=1+2+，〃=，斛付〃=4.

易错提醒利用平而向量“驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P

为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比.

跟踪演练1设点O在△A8C内部，且曲=轴+货，则辔竺=_______.

J4”OBC

3

答案t

解析由人0=^^+:＞正?，

得一12方\=4为（一万1）+3又（一届）,

整理得5a+4为+3沆=0,

所以六=亍

考点二“驰定理”和三角形的“四心”四（心在三角形内部）

（1）0是△A8C的重心

0s八BOC-SnAOC:S/\ACB=1:1

0+为+又=0.

(2)0是△ABC的内心

0s^BOC:SAAOC:SdAOB=a:〃：c

=疝+6协+c女=0.

(3)0是△ABC的外心

oS^BOC:SA0C:SAAOB

=sin2A：sin2B：sin2C

=sin2A.昂+sin2B+$in2C(9C=0.

(4)0是△ABC的垂心

=SABOC:S^AOC:Sz\A08=tanA:tanB:tanC

=tanAOA+tan808+tanCOC=0.

考向1“驰定理”与重心

例2已知在△48C中，是重心，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且56aa+404为

4-35cC=0,则8=.

答案f

解析依题意，可得56。=40方=35c,

所以〃=,a,

/+

所以cosB=8=2,

laX-a

因为08兀，所以8=全

考向2“驰定理”与外心

例3己知点。是△A8C的外心，且无+协+次?=0,。=茎则%=.

答案一|

解析依题意得，

sin2A：sinIB：sin2C=1：1：2,

/.sin2A=sin2B,

・・・2A=2B或2A+2B=7t舍（），

•\A=B,又C=停

又sin2C=》

4几

•”sin^-

.:sin