高考数学二轮复习专项突破（全国版理）球的切接问题.pdfVIP

微重点10球的切接问题

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、娃点，也是高考命题的热点，一般是

通过对几何体的割或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半

径等，一般出现在压轴小题位置.

考点一空间几何体的外接球

例11（）2（022•保定模拟）已知三棱锥P—A/3C,其中办_L平面/WC,NB4C=120。，PA=AB

=AC=2,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.12兀B.167rC.20兀D.247r

答案C

解析•・•布，平面ABC,所以把三棱锥。一A8C成直三棱柱P*C-ABC,

如图所示，

设E,尸为上、下底面三角形的外心,

则EF的中点。为直三棱柱P*C-A4C的球心，在△43C中，由余弦定理知4c=2小,

BC2sj

V2M=snZBAC=更=%

2

AM=2,

VM=2,又。产=少乂=1，

设该三棱锥外接球半径为R,

/.R=OA产+阴三下,

・•・表面积S-4*?2—207c.

2（）2（022•宝鸡模拟）两个边长为2的正三角形△A8C与△A8。，沿公共边AB折叠成60。的二

面角，若点A,B,C,。在同一球。的球面上，则球。的表面积为（）

20兀5271167c28TI

/■、・9D・9L*・3L^・3

答案B

解析如图，设△48C与△4W）的中心分别为N,M,连接。M,CN并延长交于E,连

接OE,OB,OM,ON.

D

根据外接球的性质有0M1平面ABD,。2_1_平面ABC,

.又二面角。一AA—C的大小为60°.

故NDEC=600,

又△ABC与△ABO的边长均为2,

故DE=CE=小,

故EM=EN=\ED=^-.

易得RtAMEOgRtANEO,

故NME0=NNEO=30。.

故田禹4

又EB=1,

故球。的半径(加十+6卜华,

故球。的表面积为S=4T«¥^)2=卑.

规律方法求解空间几何休的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及

体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

跟踪演练1(1)已知四面体A3CO中，AB=CD=2AC=BD=yl29,AO=BC=WI，则

四面体ABCD的外接球的表面积为.

答案45兀

解析设四面体/1BCD的外接球的半径为R,将四面体人BC。置于长、宽、高分别为a,b,

出+按=20,

c的长方体中，故，〃+。2=29,

22

,a+c=41,

4,-［屋+拄+C2

故R=2=2，

故四面体A8CO的外接球的表面积为4兀叱=45兀

2（）2（022•临川模拟）已知在四棱锥P-A8CO中，底面ABCD为边长是4的正方形，侧面PABA.

底面48CQ,且△以3为等边三角形，则该四棱锥尸一AB。的外接球的表面积为（