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概率论与数理统计知识点详细总结

概率论与数理统计作为数学的重要分支，在自然科学、工程技术、社会科学乃至日常生活中都有着广泛的应用。它不仅是深入学习后续专业课程的理论基础，更是培养逻辑思维与数据分析能力的有效途径。本文旨在对概率论与数理统计的核心知识点进行系统梳理与阐述，力求概念清晰、逻辑严谨，为学习者提供一份具有实用价值的参考资料。

一、概率论基础

1.1随机试验与样本空间

概率论始于对随机现象的研究。所谓随机试验，是指在相同条件下可以重复进行，且每次试验结果事前不可预知，但所有可能结果是已知的或可以确定的试验。例如，掷一枚骰子观察点数，记录某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数等。

随机试验的所有可能结果组成的集合，称为样本空间，通常记为Ω。样本空间中的每一个元素，即随机试验的每一个可能结果，称为样本点，记为ω。

1.2随机事件

在随机试验中，人们往往关心的是满足某种条件的样本点组成的集合，这类集合称为随机事件，简称事件，通常用大写字母A,B,C等表示。显然，事件是样本空间Ω的子集。

特别地，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。样本空间Ω本身包含所有样本点，每次试验必然发生，称为必然事件。空集?不包含任何样本点，每次试验都不发生，称为不可能事件。

1.3事件间的关系与运算

事件是集合，因此事件间的关系与运算可类比集合论中集合间的关系与运算。

*包含关系：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A?B或B?A。

*相等关系：若A?B且B?A，则称事件A与事件B相等，记为A=B。

*和事件：事件A与事件B至少有一个发生，这一事件称为A与B的和事件，记为A∪B。类似地，可定义多个事件的和事件。

*积事件：事件A与事件B同时发生，这一事件称为A与B的积事件，记为A∩B或AB。类似地，可定义多个事件的积事件。

*差事件：事件A发生而事件B不发生，这一事件称为A与B的差事件，记为A-B。

*互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=?，则称A与B互斥。

*对立事件（逆事件）：若事件A与事件B满足A∪B=Ω且AB=?，则称A与B互为对立事件，记为B=ā或A=B?。对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立。

事件的运算满足交换律、结合律、分配律以及德摩根律等。熟练掌握这些关系与运算，是进行概率计算的基础。

1.4概率的定义与性质

概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

*古典概型：具有有限个样本点，且每个样本点发生的可能性相等的随机试验模型。其概率计算公式为：P(A)=A包含的基本事件数/样本空间中基本事件总数。

*几何概型：样本空间为一个可度量的几何区域，且每个样本点的发生具有等可能性（即点落入某子区域的概率与该子区域的度量成正比，而与子区域的位置和形状无关）。其概率计算公式为：P(A)=A的度量/Ω的度量。

*概率的公理化定义：设Ω为样本空间，对于每一个事件A，赋予一个实数P(A)，若P(·)满足：

1.非负性：P(A)≥0；

2.规范性：P(Ω)=1；

3.可列可加性：对于两两互斥的可列个事件A?,A?,...,有P(∪A?)=ΣP(A?)。

则称P(A)为事件A的概率。

由概率的公理化定义可推导出概率的一些重要性质：

1.P(?)=0。

2.有限可加性：若A?,A?,...,A?两两互斥，则P(∪A?)=ΣP(A?)。

3.单调性：若A?B，则P(A)≤P(B)，且P(B-A)=P(B)-P(A)。

4.减法公式：P(B-A)=P(B)-P(AB)。

5.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。可推广至多个事件的情形。

6.互补性：P(ā)=1-P(A)。

1.5条件概率与独立性

条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。其计算公式为：P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(B)0。

由条件概率公式可直接得到乘法公式：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)，其中P(A)0,P(B)0。乘法公式可推广至多个事件积事件的概率计算。

全概率公式：设B?,B?,...,B?是样本空间Ω的一个划分（即两两互斥且∪B?=Ω），且P(B?)0，则对任一事件A，有P(A)=ΣP(A|B?)P(B?)。全概率公式体现了“由因导果”的思想，常用于将复杂事件的概率分解为简单事件的概率之和。

贝叶斯公式：在全概率公式的条件下，若P(A)