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2025年专升本山西高数二练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2，则f(x)的单调递增区间为（）

A.(∞,0)

B.(0,2)

C.(2,+∞)

D.(0,+∞)

答案：C

解析：f(x)=3x^26x，令f(x)0，解得x0或x2。因此f(x)的单调递增区间为(∞,0)和(2,+∞)，选项C正确。

2.设函数f(x)=e^x+sinx，则f(x)在x=0处的二阶导数f(0)等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：f(x)=e^x+cosx，f(x)=e^xsinx。所以f(0)=e^0sin0=10=1，选项C正确。

3.设函数f(x)=x^2+3x+5，则f(x)在区间[2,1]上的最大值为（）

A.1

B.3

C.9

D.12

答案：C

解析：f(x)=2x+3，令f(x)=0，解得x=3/2。计算f(2)=1，f(3/2)=9，f(1)=9。因此，f(x)在区间[2,1]上的最大值为9，选项C正确。

4.设函数y=x^36x^2+9x+1，求y=0的解集是（）

A.{0}

B.{2}

C.{1,2}

D.{0,2}

答案：D

解析：y=3x^212x+9，y=6x12。令y=0，解得x=2。又因为y=3(x1)(x3)，所以y=0的解集是{0,2}，选项D正确。

5.设函数y=x^22x+1，求曲线y=x^22x+1在x=0处的曲率半径R等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：y=2x2，y=2。曲率k=|y|/(1+(y)^2)^(3/2)=2/(1+(2)^2)^(3/2)=1/2。曲率半径R=1/k=2，选项B正确。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^33x^2+4x5的导数y=_______。

答案：3x^26x+4

解析：根据导数的基本公式，求出y的导数。

7.函数y=e^xsinx的导数y=_______。

答案：e^xcosx+e^xsinx

解析：根据乘积法则和基本导数公式，求出y的导数。

8.函数y=ln(1+x)在x=0处的二阶导数y=_______。

答案：1/2

解析：y=1/(1+x)，y=1/(1+x)^2。将x=0代入y，得到y(0)=1/2。

9.函数y=x^2e^x在x=0处的三阶导数y=_______。

答案：6

解析：y=2xe^x+x^2e^x，y=2e^x+4xe^x+x^2e^x，y=6e^x+6xe^x+2e^x。将x=0代入y，得到y(0)=6。

10.函数y=x^33x^2+2在x=2处的切线方程是_______。

答案：y=2

解析：求出函数在x=2处的导数值f(2)=6，然后求出切点坐标(2,2)。根据点斜式，切线方程为y2=6(x2)，化简得y=2。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的极值点及极值。

解答：f(x)=3x^212x+9，令f(x)=0，解得x=1。计算f(1)=5，因此f(x)在x=1处取得极大值5。

12.（本题10分）求函数f(x)=x^2e^x的单调区间。

解答：f(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)。令f(x)0，解得x2或x0。因此，f(x)在(∞,2)和(0,+∞)上单调递增，在(2,0)上单调递减。

13.（本题15分）已知函数f(x)=x^33x^2+2，求曲线y=f(x)在x=2处的曲率半径。

解答：f(x)=3x^26x，f(x)=6x6。在x=2处，f(2)=0，f(2)=6。曲率k=|f(2)|/(1+(f(2))^2)^(3/2)=6/(1+0)^(3/2)=6。曲率半径R=1/k=1/6