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2025年大学统计学期末考试题库——统计与决策模型构建试题

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

已知一组样本数据：5,8,12,15,18,20。请计算样本均值、样本方差和样本标准差。

二、

设总体服从正态分布N(μ,σ2)，其中σ2已知。现从该总体中抽取一个样本，样本量为n=36，样本均值为x?=55。若要检验H?:μ=50对H?:μ≠50，假设显著性水平α=0.05，请写出检验的拒绝域（临界值）。

三、

某研究人员欲探究广告投入（X，单位：万元）与产品销售额（Y，单位：万元）之间的关系。收集了10组数据，计算得到：ΣX=60,ΣY=500,ΣX2=460,ΣY2=29000,ΣXY=2780。请建立Y关于X的一元线性回归方程，并解释回归系数的含义。

四、

在一元线性回归模型Y=β?+β?X+ε中，什么情况下需要对方程进行残差分析？请列举至少三种常用的残差分析方法，并简要说明其目的。

五、

某公司考虑推出一种新产品。市场调研提供了以下信息：

*若推出成功，公司利润为80万元。

*若推出失败，公司亏损30万元。

*根据市场预测，产品推出成功的概率为0.6。

请计算该决策方案的期望收益。

六、

已知一个离散型随机变量X的分布列为：

|X|0|1|2|

|----|-----|-----|-----|

|P|0.2|0.5|0.3|

请计算随机变量X的期望E(X)和方差Var(X)。

七、

某股票价格变化可用一个简单的马尔可夫链模型来描述，状态集合为{上涨,下跌}。已知明天股票价格上涨的概率只取决于今天的价格状态：

*若今天上涨，明天上涨的概率为0.7，下跌的概率为0.3。

*若今天下跌，明天上涨的概率为0.4，下跌的概率为0.6。

请计算该马尔可夫链的稳态分布。

八、

假设一个时间序列数据呈现明显的线性趋势和季节性。请简述如何使用差分方法来消除该时间序列中的季节性影响，并说明一阶差分和二阶差分在这种情况下可能起到的作用。

九、

请解释什么是决策树，并简述其在决策分析中的应用步骤。

试卷答案

一、

样本均值μ?=(5+8+12+15+18+20)/6=78/6=13。

样本方差s2=[(5-13)2+(8-13)2+(12-13)2+(15-13)2+(18-13)2+(20-13)2]/(6-1)

=[64+25+1+4+25+49]/5

=168/5=33.6。

样本标准差s=√33.6≈5.8。

二、

检验统计量Z=(x?-μ?)/(σ/√n)。

当H?为真时，Z~N(0,1)。

显著性水平α=0.05，双侧检验，拒绝域为Z-z_(α/2)或Zz_(α/2)。

查标准正态分布表，z_(0.025)≈1.96。

拒绝域为Z-1.96或Z1.96。

将n=36,σ已知,μ?=50,x?=55代入检验统计量：

Z=(55-50)/(σ/√36)=5σ/σ=5√36=30。

所以拒绝域为Z-1.96或Z1.96，即30-1.96或301.96。

由于301.96，落入拒绝域。

临界值形式为：拒绝H?若Z1.96或Z-1.96。

三、

一元线性回归方程形式为Y=β?+β?X。

回归系数β?=[nΣXY-ΣXΣY]/[nΣX2-(ΣX)2]

=[10*2780-60*500]/[10*460-602]

=[27800-30000]/[4600-3600]

=-2200/1000=-2.2。

β?=Y?-β?X?，其中Y?=ΣY/n=500/10=50，X?=ΣX/n=60/10=6。

β?=50-(-2.2*6)=50+13.2=63.2。

所以回归方程为Y=63.2-2.2X。

β?=-2.2的含义是：广告投入每增加一个单位（万元），预计产品销售额会减少2.2万元。

四、

需要进行残差分析的情况：

1.检验线性回归模型的基本假设是否成立，特别是误差项ε的正态性、同方差性