2024-2025学年湖南省益阳市高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）.docxVIP

高级中学名校试卷

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湖南省益阳市2024-2025学年高二上学期期末质量检测

数学试题

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线的斜率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】的斜率为，

故选：B.

2.过点且与直线平行的直线方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】设与直线平行的直线可设为，

因为点在上，

所以，所以方程为.

故选：A.

3.已知两个向量，则的值是（）

A. B. C.1 D.5

【答案】D

【解析】根据可得，解得，

故选：D.

4.已知等差数列的前项和为，则（）

A.36 B.64 C.72 D.88

【答案】C

【解析】由可得，故，

进而可得，故，

故选：C.

5.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（）

A. B. C.2 D.

【答案】A

【解析】由于双曲线的两条渐近线互相垂直，故渐近线的斜率为，即，故，

故选：A.

6.已知圆.过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】因为圆的半径为，设原点到直线的距离为，则有，

可知当最大时弦的长最短，所以当直线时，弦的长最短，设直线的斜率为，则有，因为，所以，所以，

直线的方程为.

故选：D.

7.在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】因为为的中点，则，即，

所以，，

因为、分别为、的中点，

同理可得，

故选：C.

8.已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是直角三角形，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，

由题意可知，在直线上有且只有一个点，使得为直角，

此时，，则点在以线段为直径的圆上，

且该圆的圆心为原点，半径为，且圆的方程为，

所以，直线与圆相切，

直线的一般方程为，

则，

解得.

故选：B.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.已知直线，则（）

A.的倾斜角为

B.在轴上的截距为

C.原点到的距离为1

D.与坐标轴围成的三角形的面积为2

【答案】ABC

【解析】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确；

选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确；

选项C：原点到的距离为，故选项C正确；

选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误.

故选：ABC.

10.已知数列的前项和为，且，则（）

A. B.

C. D.数列为等比数列

【答案】AB

【解析】因为，所以，

所以数列是以首项为，

公比为2的等比数列，所以，故A正确；

数列的前项和为

，故B正确；

因为，故C错误；

令，所以数列为等差数列，故D错误.

故选：AB.

11.在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动点，则（）

A.在线段上存在一点，使得

B.三棱锥的体积为

C.与平面所成角的余弦值的最小值为

D.若平面，则平面与正方体的截面面积是

【答案】BCD

【解析】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设点，

对于A，，

当时，与不共线，

当时，与不共线，因此不平行，A错误；

对于B，，

设平面的法向量为，

则，

令，得，

点到平面的距离，

，，

则，，

因此三棱锥的体积，B正确；

对于C，，

设与平面所成的角为，

则，

当且仅当时取等号，此时取得最小值，C正确；

对于D，，取中点，过点的平面截正方体

的截面为正六边形，，

则，，

于是，

而，平面，

则垂直于该截面，该截面与的交点为，

因此平面，

截面正六边形的面积为，D正确.

故选：BCD.

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知两个向量，则__________.

【答案】

【解析】

.

13.已知圆，直线与交于两点，则的面积等于__________.

【答案】

【解析】的圆心为半径为，

故圆心到直线的距离为，

弦长，故.

14.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于______.

【答案】2

【解析】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，

由切线长定理可知，，，

因为在轴上，所以，