高考数学提分计划之函数与导数 新高考I专用（6）.docVIP

2022届新高考数学提分计划之函数与导数

新高考I专用（6）

1.若函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()

A. B. C. D.

2.已知，，，则()

A. B.

C. D.

3.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为()

A. B.

C. D.

4.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，.则的解集是()

A. B.

C. D.

5.已知.设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为()

A. B. C. D.

6.（多选）我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是()

A.若为“函数”，则

B.若为“函数”，则在上为增函数

C.函数在上是“函数”

D.函数在上是“函数”

7.（多选）对于函数，下列说法正确的是()

A.在处取得极大值

B.有两个不同的零点

C.

D.若在上恒成立，则

8.已知函数且，则___________.

9.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为____________.

10.已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：.

答案以及解析

1.答案：C

解析：是上的单调递增函数，

，即，故选C.

2.答案：A

解析：，，，因此，.

又，，，即，从而，故选A.

3.答案：B

解析：由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了2000mg该药物，x个小时后病人血液中这种药物的含量为，故选B.

4.答案：B

解析：当时，，则在上为增函数，

且，

又函数是定义在R上的偶函数，

所以，

利用特殊值、奇偶性，将不等式等价转化为在同一单调区间内两函数值的大小关系，利用单调性解决问题.

解得，即x的取值范围为，故选B.

5.答案：C

解析：解法一当时，不等式恒成立，排除D;当时，当时，的最小值为，满足;当时，由可得，易得在处取得极小值(也是最小值)，满足恒成立，排除A，B.故选C.

解法二若，当时，可得的最小值为，令，解得，故;当时，可得的最小值为，满足条件.所以.

若，由可得，当时，，则单调递增，故只需，显然成立;当时，由可得，易得的最小值为，令，解得，故，所以.综上，的取值范围是.

6.答案：AD

解析：对于选项A，由条件（1）知，，则，由条件（2）知，，即，所以，A正确；

对于选项B，当时，符合条件（1），（2），是“函数”，但在上不是增函数，B错误；

对于选项C，取，，则，，，不满足，所以不是“函数”，C错误；

对于选项D，在上单调递增，所以，满足条件（1），，当，时，，此时，满足条件（2），D正确.故选AD.

7.答案：ACD

解析：易知函数的定义域为，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，A正确；令，则，即，故只有一个零点，B错误；显然，因此，易知，，设，则，当时，，单调递减，而，所以，即，所以，所以，C正确；令，则，当时，，当时，，所以在处取得极大值也是最大值，因为在上恒成立，所以，D正确.故选ACD.

8.答案：

解析：当时，，故，则，

，得，，故答案为.

9.答案：

解析：由题可知，当时，不等式恒成立，设，则在上是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以，所以.

10.答案：（1）由题可得，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以在单调递增，在单调递减.

（2）由，得，

即.

令，，则，为的两根，其中.

不妨令，，则，

先证，即证，

即证.

令，

则.

因为，所以.

所以在内，恒成立，所以单调递增，

所以，所以，所以得证.

同理，不妨令，，则.要证，

即证.

令，，

则，令，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又，，且，

故，，

，

所以恒成立，所以得证，

所以.