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2025华南理工大学综评信号与系统练习题及答案

一、练习题

1.已知信号$f(t)=e^{2t}u(t)$，求其拉普拉斯变换$F(s)$，并确定收敛域。

2.已知离散序列$x[n]=\{1,2,3,4\}$（$n=0,1,2,3$），求其$Z$变换$X(z)$，并确定收敛域。

3.已知系统的单位冲激响应$h(t)=e^{3t}u(t)$，输入信号$x(t)=u(t)$，求系统的零状态响应$y_{zs}(t)$。

4.已知离散系统的差分方程为$y[n]0.5y[n1]=x[n]$，求系统的频率响应$H(e^{j\omega})$。

5.判断信号$f(t)=5\cos(2t+\frac{\pi}{3})$是否为周期信号，若是，求其周期$T$。

6.已知连续时间系统的系统函数$H(s)=\frac{s+1}{s^{2}+3s+2}$，求系统的单位冲激响应$h(t)$。

7.已知离散序列$x[n]=\cos(\frac{\pi}{4}n)$，判断其是否为周期序列，若是，求其周期$N$。

8.已知信号$f(t)$的频谱函数$F(j\omega)=\frac{1}{j\omega+2}$，求原信号$f(t)$。

9.已知系统的状态方程为$\begin{bmatrix}\dot{x}_{1}(t)\\\dot{x}_{2}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10\\02\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}u(t)$，输出方程为$y(t)=\begin{bmatrix}11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}$，求系统的传递函数$H(s)$。

10.已知离散系统的系统函数$H(z)=\frac{z}{z0.5}$，判断系统的稳定性。

答案

1.根据拉普拉斯变换的定义和常用变换对，对于$f(t)=e^{2t}u(t)$，其拉普拉斯变换$F(s)=\frac{1}{s+2}$，收敛域为$\text{Re}(s)2$。

推导过程：$F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{2t}e^{st}dt=\int_{0}^{\infty}e^{(s+2)t}dt$，令$u=(s+2)t$，$dt=\frac{1}{s+2}du$，则$F(s)=\frac{1}{s+2}\int_{0}^{\infty}e^{u}du=\frac{1}{s+2}$，要使积分收敛，需$\text{Re}(s+2)0$，即$\text{Re}(s)2$。

2.离散序列$x[n]=\{1,2,3,4\}$（$n=0,1,2,3$）的$Z$变换$X(z)=1+2z^{1}+3z^{2}+4z^{3}$，收敛域为$|z|0$。

推导过程：根据$Z$变换定义$X(z)=\sum_{n=0}^{3}x[n]z^{n}=1\timesz^{0}+2\timesz^{1}+3\timesz^{2}+4\timesz^{3}$，由于是有限长序列，收敛域为$|z|0$。

3.首先求$H(s)$和$X(s)$，$h(t)=e^{3t}u(t)$，则$H(s)=\frac{1}{s+3}$，$x(t)=u(t)$，则$X(s)=\frac{1}{s}$。

系统的零状态响应的拉普拉斯变换$Y_{zs}(s)=H(s)X(s)=\frac{1}{s(s+3)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{s}\frac{1}{s+3})$。

对$Y_{zs}(s)$进行拉普拉斯反变换，$y_{zs}(t)=\frac{1}{3}(1e^{3t})u(t)$。

4.对差分方程$y[n]0.5y[n1]=x[n]$两边进行$Z$变换，得到$Y(z)0.5z^{1}Y(z)=X(z)$。

则系统函数$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{10.5z^{1}}$，频率响应$H(e^{j\omega})=\frac{1}{10.5e^{j\omega}}$。

5.对于信号$f(t)=5\cos(2t+\frac{\pi}{3})$，根据周期信号的定义，若$f(t)=f(t+T)$，对于余弦信