第七章 解线性方程组的迭代法.pptVIP

第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日※求解线性方程组的迭代法与消去法不同，不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而是逐次逼近它，直到满足精度要求为止。因此，凡是迭代法都有其收敛性与误差估计的问题。迭代法的迭代格式很多，这里我们只介绍最基本的且是常用的简单迭代法和塞德尔迭代法。§7.1简单迭代法及其收敛性一、引例：首先用一个具体例子来说明简单迭代法的基本思想。第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日[例]解方程组第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日用任意一组近似值代入（7.2）式右端就可以得出一组新的近似值于是，对于给定的初值，是用迭代格式（7.3）可以产生一个近似解的序列下面我们取初值，由格式（7.3）迭代计算的结果列于表7－1中。——7.3第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日表7－1K000010.30001.50002.000020.80001.76002.660030.91801.92602.864040.97161.97002.954050.98941.98972.982360.99631.99612.993870.99861.99862.997780.99951.99952.999290.99981.99982.9998第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日当迭代次数增加时，迭代结果会越来越逼近方程组（7.1）的解，从这个简单的例子可以看出，用迭代法解线性方程组，基本思想是将联立线性方程组的求解归结为重复计算一组彼此独立的线性表达式，这就使问题得到了简化。但迭代法是否能达到化繁为简的目的，还要看它是否收敛于方程组的精确解。我们再观察一下例（7.1）。若分别从中分离出第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日相应的建立迭代格式：若仍取初值代入（7.4），逐次得出——7.4第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日继续算下去，其结果的绝对值越来越大，不可能逼近于任何常数，当然更不可能逼近于方程组（7.1）的解。我们称这样的迭代格式是发散的。二、简单迭代格式：下面我们对一般情形的方程组第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日建立简单迭代格式，并讨论其收敛条件。——7.5设按一定方式从方程组（7.5）中分离出未知数将（7.5）改写成下列等价形式第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日——7.6或简写为——7.7由此建立迭代格式——7.8第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日任意选一组初值代入（7.8）进行迭代计算，就可得出一个近似解序列（7.8）收敛。这时其极限值则称迭代格式显然就是（7.6）的解，从而也是方程组（7.5）的解。按格式（7.6）进行迭代以求式（7.5）解的方法称为简单迭代法。三、收敛条件：第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日下面讨论其收敛条件：迭代序列在什么条件下收敛于方程组（7.5）的精确解。记根据（7.8）于是第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日则有上式对一切成立，所以有于是于是有★定理：则迭代格式（7.8）对任意给定的初值均收敛。第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日§7.2塞德尔（Seidel）迭代法及收敛性在实际计算中，通常采用一种稍加改进的迭代方案——塞德尔迭代法。仍考察例（7.1）。设将近似值这样求出的新值准确些，将他替换老值作进一步计算，将代入（7.2）的右端得到一、引例：第14页，共28页，星期日，2025年，2月5日出于同样的考虑，这种充分利用新值建立起来的迭代公式——7.9称作塞德尔（Seidel）格式。仍取初值格式（7.9）的迭代结果如下：第15页，共28页，星期日，2025年，2月5日表7－2K000010.30001.56002.684020.88041.94452.953930.98431.99232.993840.99781.99892.999150.99971.99992.9999第16页，共28页，星期日，2025年