04三角形四边形专题5任科(含答案).docVIP

5三角形中与比例线段有关的几个定理

注若采用有向线段,上式右边为1(下面均同)

图51

梅涅劳斯定理是导出线段比例式的重要途径之一,梅涅劳斯定理的逆定理是证明三点在一条直线上的理论依据之一.

注若采用有向线段,上式右边为1(下面均同)

图52(1)图52(2)

故∥∥.

塞瓦定理是导出线段比例式的重要途径之一,塞瓦定理的逆定理是证明三点在一条直线上的理论依据之一.

证明如图53,图形有四种情形:

(1)(2)

(3)(4)

图53

同理,可证得其他三种情况.

共边比例定理可以看作是同底三角形面积之比等于其高之比的推广.

(1)(2)

图54

运用共角比例定理,可方便地推证一些基本结论.如

图55

(第17届全俄奥林匹克题)

图56

所以为中点,即通过的中点.

图57

这点作的平行线交的延长线于,作的平行线交的延长线于.则有

图58

例5用共边比例定理证明塞瓦定理及其逆定理

设与交于,与交于.由共边比例定理,

图59

注用共边比例定理也可证明梅涅劳斯定理.

A.B.C.D.

解选B

图510

图511

（1996年上海市竞赛题）

解

图512

习题5

3.在△ABC中，D、E是BC上的点，BD:DE:EC=3:2:1，点M在AC上,CM:MA=1:2,BM交AD、AE于H、G，则BH:HG:GM等于()

A.3:2:1B.5:3:1C．25：12：5D．51：24：10

（1995年黄冈地区竞赛题）

4.在△ABC的边BC上任取一点D，设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于F和E.求证:AD、BE、CF交于一点.

5.试证：过三角形三顶点且平分三角形周长的三条直线共点.

9.凸四边形ABCD中，AD=BC，另两边AB、CD的中点分别为M、N，延长AD、BC分别与直线MN交于P、Q．求证：PD=QC.

10.设D、E分别为△ABC的边AC、AB上的点，且满足∠DBC=∠ECB=∠A.求证：BE=CD．

11.设△ABC是等腰直角三角形．∠C=．在BC边上取一点M，使CM=2MB，过C作MA的垂线与斜边AB交于P．求．

12.平行四边形ABCD的面积为60，E、F分别是AB、BC的中点，AF分别与ED、BD交于G、H，求四边形BHGE的面积．

习题5解答

1.填

2.填

3.选D

10.设BD与CE交于点P,由∠DBC+∠ECB=∠A,可知∠A与∠DPE互补,从而∠BEC与∠CDB互补,

11.注意到∠ACP=∠AMC,?∠BCP=∠MAC.由共角比例定理,有