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湖北省黄冈中学2025-2026学年实验班高二上学期周日同步考（5）（数列）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知数列满足，若，则（???）

A．3 B． C． D．

2．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（????）

A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变

4．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（???）

A． B． C． D．

5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，求最小的一份的数量.”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（????）

A．122 B．121 C．120 D．110

6．已知实数，，，，成等比数列，则（????）

A． B． C． D．

7．设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（????）

A．① B．①② C．①③ D．②③

8．数列满足，则前40项和为（????）

A．820 B．940 C．1830 D．1880

二、多选题

9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（）

A．a6＞0 B．

C．Sn＜0时，n的最小值为13 D．数列中的最小项为第六项

10．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆最底层（第一层）的乒乓球数为，则（???）

A． B．

C． D．

11．下列说法正确的是（????）

A．若数列是等差数列，且，则

B．若是等差数列的前项和，则成等差数列

C．若是等比数列的前项和，则成等比数列

D．若是等比数列的前项和，且（其中是非零常数，），则为零

三、填空题

12．记为数列的前项之积，已知，则.

13．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则.

14．若方程有两个实数根，则实数的取值范围是.

四、解答题

15．数列满足，，．

（1）设，证明是等差数列；

（2）求的通项公式．

16．已知为单调递增数列，为其前项和，

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若为数列的前项和，证明：.

17．已知数列

(1)若，求数列的前项和为；

(2)若（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意，都有？

18．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：

①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；

②等额本息：每月的还款额均相同．

银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%．

（1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息．

（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）．

参考数据：．

（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式．

19．已知二次函数.数列的前项和为，点，在二次函数的图象上.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，若对恒成