高阶微分方程方程组.pptVIP

第1页，共24页，星期日，2025年，2月5日教学要求（基本理论与方法）一阶线性方程组的基本理论与解的性质线性方程组的向量表示和存在唯一性齐次与非齐次线性方程组解的性质和结构基解矩阵及常数变易公式常系数线性方程组微分方程的求解exp(At)的定义与性质exp(At)的三种计算方法和两种特例常系数非齐次线性方程组的求解第2页，共24页，星期日，2025年，2月5日齐次/非齐次线性方程组解的性质和通解结构解的性质（叠加原理）；解的线性相关/无关性及判别（Wronsky行列式）齐次与非齐次通解结构（基本解组）基解矩阵及其性质、常数变易公式基本概念：线性、齐次与非齐次、解（特解与通解）、初值问题、二者关系、存在唯一性向量表示：向量（矩阵）函数及微积分、范数、向量序列与级数高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比）第3页，共24页，星期日，2025年，2月5日矩阵指数与基解矩阵矩阵指数expA的定义与性质基解矩阵表示基解矩阵的计算方法基解矩阵与特征值（向量）关系特征值（向量）方法若当块方法递推公式方法第4页，共24页，星期日，2025年，2月5日高阶(线性)微分方程的求解常系数齐次线性方程（欧拉方程）的特征根法常系数非齐次线性方程的比较系数法一般非齐次线性方程的常数变易法一般高阶（线性）方程的降解法*(了解)二阶方程的幂级数法（Bessel方程）第5页，共24页，星期日，2025年，2月5日常系数齐次线性微分方程的通解---特征根法基本解组复解实值转化第6页，共24页，星期日，2025年，2月5日欧拉方程的基本解组---变换特征方程基本解组第7页，共24页，星期日，2025年，2月5日非齐次常系数线性方程的特解----比较系数法类型Ⅰ类型II特解特解待定特解中的系数，将特解代入方程，比较方程两端求出系数，从而得到特解（待定系数法！）第8页，共24页，星期日，2025年，2月5日n-k阶方程n-1阶方程n-1阶方程并反复k次，得n-k阶方程方程变换结果一般高阶方程---降阶法二阶线性方程（已知非零解求另一非线性无关解）第9页，共24页，星期日，2025年，2月5日为齐次方程的基本解组，则通解：求一般非齐次线性方程的特解---常数变易法假设非齐次的某特解：第10页，共24页，星期日，2025年，2月5日幂级数解法Bssel方程的通解公式和Bessel函数二阶线性方程----幂级数解法*第11页，共24页，星期日，2025年，2月5日齐次：基本解组非齐次：特解常系数齐次：特征根法常系数非齐次：比较系数法、常数变易法、降阶法幂级数法*、分解法变系数方程（非齐次）：降阶法、幂级数法*第12页，共24页，星期日，2025年，2月5日1计算特征值，n个无关的特征向量；（I）n个线性无关特征向量情形2求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）；第13页，共24页，星期日，2025年，2月5日（2）求解子空间Uj并分解：（1）求A的特征值、特征向量（3）仅一个特征值利用公式(5.53);（4）（II）基解矩阵的计算方法---递推法第14页，共24页，星期日，2025年，2月5日利用递推法计算基解矩阵结论其中是下列初值问题的解(III)基解矩阵的计算方法---递推法第15页，共24页，星期日，2025年，2月5日练习第16页，共24页，星期日，2025年，2月5日§3.7稳定性问题在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。第17页，共24页，星期日，2025年，2月5日