73复数的三角表示f8d2179c83a3479196fe633778814def.docxVIP

7.3复数的三角表示

7.3.1复数的三角表示式

例1：画出下列复数对应向量，并把这些复数表示成三角形式：

（2）.

分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.

（2）复数对应的向量如图7.33所示，则

例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

练习

1.把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：

（1）4；

（2）；

【解析】

【分析】

只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.

2.下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.

【解析】

【分析】

（4）是三角形式．

3.把下列复数表示成代数形式：

【解析】

【分析】

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

.

例4：如图7.38，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到求向量对应的复数（用代数形式表示）.

分析：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°.

解：向量对应的复数为

练习

4.计算：

（4）

【解析】

【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案.

【小问1详解】

【小问2详解】

【小问3详解】

【小问4详解】

5.计算：

【解析】

【分析】

把复数改为三角形式，然后根据复数三角形式的除法法则计算．即模的商作为商的模，辐角的差作为商的辐角．然后再化为代数形式．

另解

第（3）题还可以这样解：

第（4）题还可以这样解：

【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，掌握三角形式的除法法则是解题基础．除法法则：两个复数三角形式相除，把模的商作为商的模，辐角的差作为商的辐角．最终结果一般要化为代数形式．

【解析】

对应向量绕原点O按顺时针方向旋转，

习题7.3

复习巩固

7.画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

【解析】

【分析】

根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解.

【详解】解：（1）6对应的向量如答图中，

（2）对应的向量如答图中，

【点睛】本题考查复数的几何意义及三角形式，属于基础题.

8.把下列复数表示成代数形式：

【解析】

【分析】

求出各复数的实部和虚部三角函数值，即可求解.

【点睛】本题考查复数三角形式与代数形式互化，属于基础题.

9.计算：

【解析】

【分析】

复数化为三角形式，按三角形式的运算法则，即可求解.

【点睛】本.题考查复数三角形式的乘除法运算，属于基础题

10.计算下列各式，并作出几何解释：

【解析】

【分析】

根据复数乘除法运算法则，即可求值，应用三角形式的几何意义，即可解释运算结果.

绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长

绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短

为原来的，得到一个长度为、辐角为的

然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度

绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，

得到一个长度为，辐角为的向量，

【点睛】本题考查复数乘除运算，以及复数乘除运算的几何意义，属于基础题.

综合运用

（2）写出下列复数z的倒数的模与辐角；

【答案】（1）证明见解析（2）答案不唯一，见解析

【解析】

【分析】

（1）按照复数三角形式的除法运算法则计算，或等价转化为证明两个复数相乘；

（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出，再化为三角形式.

∴原等式成立.

【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，以及常用结论的应用，考查计算能力，属于中档题.

12.求证：

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】将各因式化为三角形式，按照复数三角形的乘法法则，即可得证.

【小问1详解】

【小问2详解】

13.化简：

【解析】

【分析】

将复数化为三角形式，按照复数三角形式的除法法则，即可求解.

【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，属于基础题.

【解析】

【分析】

将复数对应的向量变换为复数三角形式的乘积，即可求解.

【详解】解：将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：

将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为

【点睛】本题考查复数乘法几何意义的应用，考查计算能力，属于中档题

拓广探索

【解析】

【分析】

将坐标原点平移至，在新坐标系求出对应复数的三角形式，应用乘法的几何意义，求出对应复数的坐标，即可求出点在新坐标系中的坐标，再根据坐标平移关系，可求出结论

将绕点A顺时针方向旋转得

∴在原平面直角坐标系xOy中，

【点睛】本题考查复数乘法的几何意义的应用，考查计算能力，属于中档题.

【答案】证明见解析

【解析】

变式练习题

【答案】，，0，

【解析】

【详解】设这4个复数的模分别为，，，，辐角主值分别