第八章猜想与反驳.pptVIP

第三节反例反驳数学离不开猜想，但猜想并不总是正确的，著名的数学哲学家拉卡托斯(I.katos)把数学发现的逻辑归结为“证明与反驳”，他说:“非形式、准经验数学的生长靠的不是单调增加的千真万确的定理的数目，靠的是会想和批评，用证明和反驳的逻辑不断地改进推测”.第29页，共52页，星期日，2025年，2月5日反例是推翻错误命题和使猜想更加可信的重要手段.反例反驳在逻辑上的依据是:如果命题成立,那么命题对一切特例成立;现在有一个特例与命题矛盾，所以这个命题不成立。否定一个猜想的反例应该具备两个条件:第一，反例满足构成猜想的所有条件;第二，反例的结论与猜想的结论矛盾。第30页，共52页，星期日，2025年，2月5日例9平面分割问题:若忽略直线上的点不计,平面上的n条直线最多能将平面分割成多少部分?n条直线太复杂,不妨先从简单的情况开始。n=1时,一条直线把平面分成两部分,如设n条直线最多能将平面分成an块,则有a1=2,n=2时,有两种情况:若它们平行,则平面被分成3块;若不平行,则平面被分成4块,故a2=4。第31页，共52页，星期日，2025年，2月5日有人也许会由此得出结论:每增加一条直线就增加两块面积。于是a3=6,a4=8,?an=2n.或者认为平面块数将成倍增加,于是an等于a的n次方。这些猜想是否正确？当然,可以肯定至少有一个是错的。先用n=3验证。当n=3时,可能出现三种情况:若若三线共点,则平面被分成3块;若有两直线平行,则平面也被分成3块;若三直线两两相交,并且无公共交点,则平面被分成7块;故a3=7;上述两个猜想都被否定了。第32页，共52页，星期日，2025年，2月5日失败的原因在于观察的实例太少,事物的本质尚未充分暴露。再考虑n=4的情况,可得a4=11不难发现a2=a1+2,a3=a2+3;a4=a3+4;于是可以猜想an=an-1+n。这一猜想是否正确?对n=5加以验证,结果与猜想相符,这使我们更加相信这个猜想正确。因此应进一步探求证明猜想的方法。这个猜想的证明并不很困难,而且可以求得an的一般表达式：an=1/2(n2+n+1)第33页，共52页，星期日，2025年，2月5日从上述内容可以看出,反例是推翻错误命题和使猜想更加可信的重要手段.反例在数学中有着重大作用,它帮助人们不断清除错误的命题,保持数学的纯洁性；同时让猜想在经受反例挑战的过程中,通过自身的修改调整,不断增强其科学性。通过一个反例作为论据否定猜想的方法叫做反例反驳。反例反驳在逻辑上的依据是：如果命题成立,那么命题应对一切特例成立；现在有一个作为反例的特例与命题矛盾,所以这个命题不成立。第34页，共52页，星期日，2025年，2月5日。即反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。否定一个猜想的反例应具备两个条件：（1）反例满足构成猜想的所有条件；（2）反例的结论与猜想的结论矛盾。构造反例通常是在符合猜想条件的某个特殊情形下,设法举出一个结论不成立的例子。所谓特殊情形,可以是某种极端情形,也可以是某个具体情形,而在这些情形下结论容易得到。第35页，共52页，星期日，2025年，2月5日反例在否定一个命题时具有特殊的威力,如能在教学中充分加以运用,常可收到事半功倍的效果。第36页，共52页，星期日，2025年，2月5日第四节猜想能力的培养历史上著名的“四色猜想”“哥德巴赫猜想”等都告诉我们数学教科书中那些精辟的结论、深刻的定理、巧妙的证法，不是从天上掉下来的，而是数学家们运用各种各样的猜想而得到的.那么将来作为教学第一线的教师，在新课程理念的指导下，如何在课堂教学中体现培养学生数学猜想的理念，发展学生的猜想能力？第37页，共52页，星期日，2025年，2月5日第1页，共52页，星期日，2025年，2月5日第一节归纳猜想归纳猜想是数学素养的一个重要方面,是合情推理的表现形式之一。猜想——明智的猜想,是发现的主要途径而归纳是猜想的一个重要前提工作,或者二者是同步的.从具体的问题情境,发现规律,然后进行形式化、数学化,这是数学发现的重要步骤.在这个过程中,学生的心理活动是丰富的,而且,正是由于这样的过程,学生的数学推理、问题解决和数学创造等才逐步形成;当这个过程相对比较成熟,形成稳定的心理结构,那么学生就获得了数学素养重要的一个重要方面。第2页，共52页，星期日，2025年，2月5日1.归纳猜想的一般过程归纳是数学的基本思考方式也是做数学的基本功。在我们的生活和学习过程中,