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第二节牛顿迭代法第1页,共11页,星期日,2025年,2月5日
xyx*x0只要f?C1,每一步迭代都有而且,则x*就是f的根。是如下线性方程的根!第2页,共11页,星期日,2025年,2月5日
3.牛顿迭代法的几何解释:方程的根在几何上是曲线与x轴的交点的横坐标。若是根的一个近似,过曲线上横坐标为的点作曲线的切线,则该切线与x轴交点的横坐标即为。xyx*x0第3页,共11页,星期日,2025年,2月5日
例2.5:?写出求的牛顿迭代格式;?写出求的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算,又无除法运算。解:?等价于求方程的正根?解法一:等价于求方程的根退化为二分法!!第4页,共11页,星期日,2025年,2月5日
解法二:等价于求方程的正根?设x*为方程f(x)=0的根,在包含x*的某个开区间内连续,且,则存在x*的邻域,使得任取初值,由牛顿迭代法产生的序列以不低于二阶的收敛速度收敛于x*,且4、牛顿迭代法的局部收敛性定理第5页,共11页,星期日,2025年,2月5日
其中,则收敛由泰勒展开:在单根附近收敛快!?只要,则令可得结论。证明:牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代在和之间第6页,共11页,星期日,2025年,2月5日
牛顿迭代法的改进?重根Q1:若,牛顿迭代法是否仍收敛?设x*是f的n重根,则:且。因为牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代,其中,则A1:有局部收敛性,但重数n越高,收敛越慢。Q2:如何加速重根的收敛?A2:根的重数已知,可将f的重根转化为另一函数的单根。?令,则f的重根是?的单根,且第7页,共11页,星期日,2025年,2月5日
从而可构造出相应的迭代法格式为对构造出相应的牛顿迭代格式,迭代函数为若已知根的重数为n,可将迭代格式改为,则,所以上述格式是平方收敛的。第8页,共11页,星期日,2025年,2月5日
①收敛速度快,稳定性好;②精度高。①在重根附近收敛速度会降阶;②每次都要计算函数及其导数值,计算量大。优点缺点注解:牛顿法是局部收敛的,所以要求初值选在解的附近,实际计算时,常先用简单迭代法算几步,估计出一个质量较好的初值!!主要缺陷!!第9页,共11页,星期日,2025年,2月5日
收敛比牛顿迭代法慢,且对初值要求同样高。第五节弦割法x0x1切线割线切线斜率?割线斜率需要2个初值x0和x1。基本思想:牛顿迭代法每一步要计算f和,为了避免计算导数值,现用f的差商近似代替微商,从而得到弦割法。x2第10页,共11页,星期日,2025年,2月5日
Th2.10局部收敛性设表示区间,x*为方程f(x)=0的根,函数f(x)在中有足够阶连续导数,且满足则对,由割线法产生的序列都收敛于x*,且(i)(ii)(iii)其中收敛速度介于牛顿法和二分法之间第11页,共11页,星期日,2025年,2月5日
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