2025年中考数学数学探究题专项提升试卷.docx

2025年中考数学数学探究题专项提升试卷

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

已知关于$x$的一元二次方程$mx^2-2x+1=0$。

(1)若该方程有一个根为$2$，求$m$的值；

(2)若该方程的两个实数根$x_1$，$x_2$满足$x_1+x_2=2$，请探究$m$的取值范围，并写出一个符合该条件的$m$的值。

二、

如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$B$的坐标分别为$A(-1,0)$，$B(3,0)$，抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$A$和点$B$。

(1)求$b$和$c$的值；

(2)设抛物线的顶点为$D$，点$P$是抛物线对称轴上的一动点，当$\triangleABP$的周长最小时，求点$P$的坐标；

(3)在(2)的条件下，过点$P$作直线$PE$平分$\angleAPB$，交抛物线于点$E$。试探究直线$PE$是否会经过某一定点？若会，求出该定点的坐标；若不会，请说明理由。

三、

已知四边形$ABCD$中，$AD\perpAB$，$AD=4$，$AB=3$，$BC=4$，$\angleABC=120^\circ$。

(1)求对角线$BD$的长；

(2)延长$BC$到点$E$，使得$CE=BD$，连接$DE$。求证：四边形$ABDE$是平行四边形；

(3)在(2)的条件下，点$F$是对角线$BE$上一点，连接$DF$。设$DF$的长为$t$。当$t$取何值时，以$D$，$F$，$C$为顶点的三角形与$\triangleABD$相似？请直接写出所有符合条件的$t$值。

四、

某校为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（条形图和扇形图）。

根据图中信息，解答下列问题：

(1)本次调查共抽取了多少名学生？

(2)在扇形图中，“掌握”部分所对应的圆心角是多少度？

(3)补全条形图；

(4)若该校共有2000名学生，请估计该校“非常了解”垃圾分类知识的学生约有多少人。

五、

甲、乙两地相距$450$千米，一辆快车和一辆慢车同时从甲地出发，沿同一条路线前往乙地。快车到达乙地后立即返回，在途中与从乙地出发前往甲地的慢车相遇。已知快车的速度比慢车速度每小时快$30$千米，相遇时快车离甲地$300$千米。

(1)求慢车的速度；

(2)求快车与慢车相遇后，快车返回甲地所用的时间；

(3)在线段上标出慢车在出发后$2$小时时所在的位置，并说明理由。

六、

如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，$BE$交$CD$于点$F$。点$G$是线段$CF$上的一个动点（点$G$不与点$C$，$F$重合），过点$G$作$GH\perpCF$，交$AB$于点$H$，交$BE$于点$M$。

(1)求证：$BE\cdotCD=BF\cdotCE$；

(2)当点$G$恰好是$CF$的中点时，若$\angleBAC=90^\circ$，$AB=4$，求$AM$的长；

(3)在(2)的条件下，连接$AH$，$AG$。求证：$AH^2=AG\cdotAB$。

七、

给定两个数列：数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n(n+1)$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$b_1=2$，$b_n=S_n-S_{n-1}+1$（$n\geq2$）。

(1)求$b_2$，$b_3$的值；

(2)求数列$\{b_n\}$的通项公式；

(3)设$c_n=\frac{a_n}{b_n}$，是否存在正整数$k$，使得对于任意正整数$n$，都有$c_nc_{n+1}$成立？若存在，求出$k$的最大值；若不存在，请说明理由。

试卷答案

一、

(1)$m=\frac{1}{4}$；

(2)$m\neq1$，例如$m=2$。

二、

(1)$b=-4$，$c=3$；

(2)$P(1,4)$；

(3)会，定点坐标为$(1,0)$。

三、

(1)$BD=5$；

(2)证明见解析（利用SAS判定平行四边形）；

(3)$t=3$或$t=\frac{24}{5}$。

四、

(1