2025年中考数学压轴题专项训练试卷：攻克难题策略解析.docx

2025年中考数学压轴题专项训练试卷：攻克难题策略解析

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

已知函数$f(x)=x^2+bx+c$，其中$b$，$c$为常数，且$f(1)=0$，$f(x)-x\geq0$对任意$x\in\mathbb{R}$恒成立。

(1)求$b$，$c$的值；

(2)若对于任意$x_1$，$x_2\in[1,3]$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leq1$，求$b$的取值范围。

二、

如图，在平面直角坐标系$xOy$中，点$A$，$B$，$C$的坐标分别为$A(1,0)$，$B(0,1)$，$C(a,b)$，其中$a$，$b$为常数，且$\angleABC=90^\circ$，$\angleACB=30^\circ$。点$P$是$\triangleABC$外接圆上的动点，过点$P$作$PD\perpAB$于点$D$，作$PE\perpBC$于点$E$，作$PF\perpAC$于点$F$。

(1)求$a$，$b$的值；

(2)求$\triangleDEF$的面积$S$的最大值；

(3)当点$P$运动到$\odotO$的某一点时，使得$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AF}$，请直接写出此时点$P$的坐标。

三、

已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，满足$S_n=2a_n-3n$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_n+2n$。

(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式；

(2)设$T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n$，求$T_n$；

(3)是否存在正整数$m$，使得$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_m}1000$？若存在，求出$m$的最小值；若不存在，请说明理由。

四、

已知抛物线$y=x^2+px+q$经过点$A(1,0)$，$B(-2,0)$，$C(0,m)$，其中$p$，$q$，$m$为常数，且$m0$。

(1)求$p$，$q$，$m$的值；

(2)设抛物线的顶点为$M$，直线$AC$与抛物线交于点$D$(点$D$在点$C$左侧)，过点$D$作$DN\perpx$轴于点$N$，点$P$是抛物线$y=x^2+px+q$在第一象限上的一段弧上的动点，记$\triangleADN$的面积为$S_1$，$\triangleDNP$的面积为$S_2$，求$S_1+S_2$的最小值。

五、

给定三个正数$a$，$b$，$c$，且满足$a+b+c=1$，$a^2+b^2+c^2\geq\frac{k}{3}$，其中$k$为常数。

(1)求证：$k\leq1$；

(2)当$a=\frac{1}{4}$，$b=\frac{1}{4}$时，求$c$的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若$a^3+b^3+c^3\geq\frac{1}{4}+m(c^2-1)$恒成立，求实数$m$的最大值。

试卷答案

一、

(1)解：由$f(1)=0$，得$1+b+c=0$，即$b+c=-1$。

因为$f(x)-x\geq0$对任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，

即$x^2+(b-1)x+c\geq0$对任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，

所以$\Delta=(b-1)^2-4c\leq0$，

即$(b-1)^2-4(-1-b)\leq0$，

整理得$b^2+6b-3\leq0$，

解得$-3-2\sqrt{3}\leqb\leq-3+2\sqrt{3}$。

由$b+c=-1$，得$c=1-b$。

将$c=1-b$代入$b^2+6b-3\leq0$，

得$(b+3)^2\leq12$，

解得$-3-2\sqrt{3}\leqb\leq-3+2\sqrt{3}$。

所以$b=-3+2\sqrt{3}$，$c=1-b=-1-2\sqrt{3}