专题04 黄金分割与平行线分线段成比例的五种考法（解析版）-2025数学常考压轴题上册九年级华师版.docxVIP

专题04黄金分割与平行线分线段成比例的五种考法

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 2

类型一、利用黄金分割求解 2

类型二、证明黄金分割点 5

类型三、由平行判断成比例的线段 9

类型四、由平行截线求相关线段的长 12

类型五、由平行截线求相关线段的比值 15

压轴能力测评（18题） 19

解题知识必备

1.黄金分割

如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）

2.平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．

3.平行线分线段成比例定理的推论

平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．

压轴题型讲练

类型一、利用黄金分割求解

例题：（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则．

【答案】/

【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.

【详解】解：设，

∵四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

∵四边形是黄金矩形，

∴，

∴，

解得：，

经检验：是原方程的解，

∴，

故答案为：．

【变式训练1】（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为米．

【答案】

【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可．

【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，

∴米，

故答案为：．

【变式训练2】（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接AD，在AD上截取；在AB上截取，则．

【答案】

【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和AB即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键．

【详解】解：∵，，

∴，

在中，

．

因为，

所以，

所以，

所以．

故答案为：

【变式训练3】（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到．参考数据：，，）．

【答案】

【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．

设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．

【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是，

雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，

，

解得或（舍去），

经检验，是原方程的解，

，

故答案为：．

类型二、证明黄金分割点

例题：（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）【背景知识】

宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．

（1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号）

【实验操作】

折一个黄金矩形

第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；

第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；

第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处；

第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．

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【问题思考】

（2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形；

（3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．

【答案】（1）（米）；（2）见详解；（3）或．

【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已