利用去分母解一元一次方程（教学课件）人教版七年级数学上册.pptxVIP

5.2.4利用去分母解一元一次方程

当一元一次方程中含有分数系数时，直接进行移项、合并同类项等操作会增加计算难度。去分母是解决这类方程的关键步骤，通过消除分母将分数系数化为整数系数，可简化方程结构，降低求解难度。掌握去分母的方法和技巧，能高效处理含分数的一元一次方程。

一、去分母的目的与依据

目的：

当方程中存在分数系数（如\(\frac{1}{2}x\)、\(\frac{3}{4}(x-1)\)）时，去分母可将方程转化为系数为整数的方程，避免分数运算带来的繁琐和错误。例如：方程\(\frac{x}{2}+\frac{x-1}{3}=1\)去分母后变为\(3x+2(x-1)=6\)，计算更简便。

依据：

去分母的依据是等式的性质2（等式两边乘同一个不为0的数，结果仍相等）。通过在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，可消除分母，且保持等式成立。例如：方程\(\frac{x}{2}=3\)两边乘2（分母2的最小公倍数），得\(x=6\)。

二、去分母的关键步骤

确定最简公分母：

找出方程中所有分母的最小公倍数（简称最简公分母），作为去分母时的乘数。

若分母是整数，最简公分母是各分母的最小公倍数。例如：分母为2和3时，最简公分母是6；分母为4、6时，最简公分母是12。

若分母中含有字母（但一元一次方程分母不含未知数，仅为常数），处理方式相同。例如：方程\(\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1\)（\(a\)、\(b\)为常数）的最简公分母是\(ab\)。

去分母操作：

在方程两边同时乘最简公分母，确保每一项（含不含分母的项）都与最简公分母相乘，再通过分配律去除分母。

例如：方程\(\frac{x}{2}+1=\frac{x-1}{3}\)的最简公分母是6，两边乘6得：\(6??\frac{x}{2}+6??1=6??\frac{x-1}{3}\)，即\(3x+6=2(x-1)\)。

三、利用去分母解一元一次方程的步骤

含有分数系数的一元一次方程的求解步骤可概括为“去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1”，具体如下：

去分母：

方程两边同时乘所有分母的最简公分母，消除分母，将分数系数化为整数系数。注意：不含分母的项也要乘最简公分母，避免漏乘。

例如：方程\(\frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{2}=1\)的最简公分母是6，去分母后为\(2(2x-1)-3(x+1)=6\)。

去括号：

若去分母后方程中含有括号，根据去括号法则去除括号，处理好符号和系数。

例如：上例去分母后得\(4x-2-3x-3=6\)。

移项：

将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项时改变符号。

例如：上例整理后移项得\(4x-3x=6+2+3\)。

合并同类项：

合并等号两边的同类项，将方程化为\(ax=b\)（\(aa??0\)）的形式。

例如：上例合并后得\(x=11\)。

系数化为1：

方程两边同时除以未知数的系数\(a\)，得到方程的解\(x=\frac{b}{a}\)。

（若合并后系数为1，则此步骤可省略）

四、实例解析

示例1：解方程\(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5\)。

解：

步骤1：确定最简公分母（2和3的最小公倍数是6）。

步骤2：去分母（两边乘6）：\(6??\frac{x}{2}+6??\frac{x}{3}=6??5\)，即\(3x+2x=30\)。

步骤3：合并同类项：\(5x=30\)。

步骤4：系数化为1：\(x=6\)。

因此，方程的解为\(x=6\)。

示例2：解方程\(\frac{2x-1}{5}-\frac{3x+1}{3}=1\)。

解：

步骤1：确定最简公分母（5和3的最小公倍数是15）。

步骤2：去分母（两边乘15）：\(15??\frac{2x-1}{5}-15??\frac{3x+1}{3}=15??1\)，

即\(3(2x-1)-5(3x+1)=15\)。

步骤3：去括号（注意符号）：\(6x-3-15x-5=15\)。

步骤4：合并同侧同类项：\(-9x-8=15\)。

步骤5：移项：\(-9x=15+8\)，即\(-9x=23\)。

步骤6：系数化为1：\(x=-\frac{23}{9}\)。

因此，方程的解为\(x=-\frac{23}{9}\)。

示例3：解方