2026高中数学联赛（奥赛）模拟试卷3（学生版+解析版） .pdfVIP

2026全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2026全国高中数学联合竞赛

一试全真模拟试题3

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.记等差数列0}的公差为d,前〃项和为$〃，若+号=4,则的值为.

^^2024

2.已知3-3=2,则2。-人的最小值为_________・

3.已知是函数3sin*x+%三2在篆|■三上的两个零点，则cos（o-们的值

为・

4.在平面四边形ABCD中，仙=3,8C=5,CD=6,DA=7,则AC^BD的值为.

221

5.设椭圆W:瑚+：=1的左、右焦点分别为鸟，E，A是W上的一点，满足cosDAF^=-,

则DA*%的面积为・

6.给定集合$={3,y,z）|x,y,z?Z,10#x,y,z10,xyz?0）,任取有序数组3,y,z）iS,

事件“一+一+一=―一-”发生的概率为_________.

xzx+y+z

7.已知三个复数a.b.c的模相等，且dbc+2abc=15-0i,abc+2abc=33+la,其中k0,

则。2的值为.

8.已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC^平面BCD,直线AD

与8C所成的角为90。，则四面体体积的最大值为・

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.（本题满分16分）已知DABC的内角A,B,C满足

1+12扼

tanBtanCsinBsinC

求。的最大值.

10.（本题满分20分）在平面直角坐标系尤Qy中，已知双曲线

22

G:—--^-r-=1（。0,0）

ab

的左焦点为F,过F的直线/与G交于A,8两点.

若OA-OB,求G的离心率e的取值范围.

11.（本题满分20分）求所有满足下述条件的正整数S存在互不相同的整数知％,L和

如妇L,如，使得对于所有的k=,2,L,zi,都有

nn

照（q；+aflk+々）=（b：+吨+々•）=0.

i=li=

2026全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)

暨2026全国高中数学联合竞赛

一试全真模拟试题3参考答案及评分标准

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请

严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评

分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档

次，不得增加其他中间档次.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.记等差数列0｝的公差为』，前〃项和为常若+号二4,则W的值为

Q]CI“