全国大学生数学竞赛（非数学类）试题及答案.docxVIP

全国大学生数学竞赛（非数学类）试题及答案

全国大学生数学竞赛（非数学类）试题

满分：100分考试时间：150分钟

一、选择题（每题8分，共24分）

极限\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cosx}{x^2}的值为（）

A.\frac{3}{2}B.1C.\frac{1}{2}D.2

设函数f(x)=(x^2-1)e^x，则f(x)的极小值点为（）

A.x=-1B.x=1C.x=-\sqrt{2}-1D.x=\sqrt{2}-1

设I_1=\int_0^1x^2dx，I_2=\int_1^2\lnxdx，则（）

A.I_1I_2B.I_1I_2C.I_1=I_2D.无法比较

二、填空题（每题8分，共24分）

曲线\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1在点(1,\frac{3\sqrt{3}}{2})处的切线斜率为________。

二重积分\iint_Dxy^2dxdy（其中D:0\leqx\leq1,0\leqy\leq2）的值为________。

微分方程y+2xy=xe^{-x^2}的通解为________。

三、解答题（共4题，共52分）

（12分）计算极限\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\dots+\frac{1}{n^2+n}\right)。

（13分）证明：函数f(x)=x^3-3x+1在区间(0,1)内存在唯一零点。

（13分）计算定积分\int_0^1\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}dx。

（14分）判断级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n+1}}的敛散性，若收敛，求其和（若可求）。

参考答案及解析

一、选择题

答案：A

解析：用等价无穷小替换，当x\to0时，e^{x^2}\sim1+x^2+\frac{x^4}{2}，\cosx\sim1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}，代入得：

\lim\limits_{x\to0}\frac{(1+x^2+\frac{x^4}{2})-(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24})}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{3x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=\frac{3}{2}

答案：D

解析：求导得f(x)=(x^2+2x-1)e^x，令f(x)=0，解得x=-1\pm\sqrt{2}。

当x-1-\sqrt{2}或x-1+\sqrt{2}时，f(x)0；当-1-\sqrt{2}x-1+\sqrt{2}时，f(x)0。

故x=-1+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1是极小值点。

答案：A

解析：计算得I_1=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac{1}{3}；I_2=\left.(x\lnx-x)\right|_1^2=2\ln2-1\approx1.386-1=0.386，而\frac{1}{3}\approx0.333，故I_1I_2。

二、填空题

答案：

解析：隐函数求导，对\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1两边求导得\frac{x}{2}+\frac{2yy}{9}=0，代入(1,\frac{3\sqrt{3}}{2})：

\frac{1}{2}+\frac{2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdoty}{9}=0\impliesy=-\frac{3}{4}

答案：

解析：分离变量积分，\iint_Dxy^2dxdy=\int_0^1xdx\cdot\int_0^2y^2dy=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1\cdot\left.\frac{y^3}{3}\right|_0^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{8}{3}。

答案：