代数系统一般性质.pptxVIP

第3篇代数系统在普通代数里，计算的对象是数（自然数、实数、多项式、矩阵、命题、集合乃至图），计算的方法是运算（加、减、乘、除、与、或、非、并、交、差、补），然后讨论这些对象及其运算的相关性质。它们中不无雷同之处。如：数与多项式对于代数运算有相当一致的特性；命题对于与、或、非运算和集合对于交、并、补运算甚至可以做统一的描述。这就使人们自然地想到可以做进一步抽象的研究：不管对象集合的具体特性，也不管对象集合上运算的具体意义，主要讨论数学结构的一般特性，并按运算所遵循的一般定律（如结合律、交换律、分配律等）和特性，对这些数学结构进行分类研究。在19世纪，一些数学家对这些事物及其运算的共同内容进行概括和综合研究，发现它们有着统一的形式：它们都是由集合和其上的运算所组成的系统。称这样的系统为代数系统。代数系统是一种数学结构，它由集合、关系、运算、公理、定理、定义和算法组成。它采用抽象的手法，研究将要处理的数学对象——集合上的关系或运算。事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称为代数结构。

代数的概念和方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。众所周知，在各种数学问题及许多实际问题的研究中都离不开数学模型，要构造一个现象或过程的数学模型，就需要某种数学结构，而代数结构就是最常用的数学结构之一。如描述机器可计算的函数、研究算数计算的复杂性、刻划抽象数据结构、程序设计语言的语义学基础、逻辑电路设计和编码理论等，都需要代数知识。因此有必要掌握它的重要概念和基本方法。在现实生活中抽象出来的代数系统是满足某些固有性质的代数系统，对于具有某些性质的代数系统，没有必要分散地、个别地进行讨论，完全可以对具有相同性质的代数系统进行集中研究。利用这种方法来研究代数系统可以形成很多特定的代数系统，它们构成了代数系统的各个分支，如半群、群、环、域、格、布尔代数等。在本篇中，首先将介绍代数系统的基本概念、代数系统的基本运算和性质及其同态和同构。在此基础上对典型的代数系统进行讨论，如半群、群、环、域、格、布尔代数等。

在前面的章节中已经给出了集合和函数的概念，使用这些概念可以定义集合上的运算。一般来说，集合和它上面的运算都遵从某些规律——算律，这就构成了代数系统。本章主要介绍代数系统中的一些基本概念，如子代数、同态、同余、商代数与积代数等，以便对各种代数系统的共性有所了解。第六章代数系统一般性质

二元运算及其性质代数系统的定义代数系统的同态与同构同余关系与商代数第六章代数系统一般性质

6.1二元运算及其性质

6.1.1二元运算6.1.2二元运算律6.1.3二元运算特殊元二元运算实例

二元运算是最常见的代数运算。6.1.1二元运算定义设S为集合，函数f：S×S→S称为S上的一个二元运算，简称为二元运算。例如，f：N×N→N，f(x,y)=x+y就是自然数集合上的一个二元运算，即普通的加法运算。但是普通的减法不是自然数集合上的二元运算，因为两个自然数相减可能得负数，而负数不属于N。这时也称集合N对减法运算不封闭。验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算结果是唯一的；S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。

类似于二元运算，对于任意的正整数n可以定义集合S上的n元运算。定义6.1.2设S为集合，n为正整数，则函数称为S上的一个n元运算，简称为n元运算。例如，求一个数的相反数是实数集R上的一元运算，求一个数的倒数是上的一元运算。在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上的投影可以看作是实数集R上的三元运算，因为参加运算的是有序的三个实数，而结果也是实数。

对于有穷集S上的一元和二元运算，除了可以使用函数f的表达式给出以外，还可以用运算表给出。表和表所列是一元运算表和二元运算表的一般形式，其中是S中的元素，?为算符。表6.1.1一元运算表一般形式表6.1.2二元运算表一般形式

6.1二元运算及其性质

6.1.1二元运算6.1.2二元运算律6.1.3二元运算特殊元二元运算实例

定义设?为S上的二元运算，如果对任意的x,y∈S