九年级数学知识点归纳与重点突破.docxVIP

九年级数学知识点归纳与重点突破

九年级数学，承上启下，既是对初中前两年所学知识的深化与综合，也为高中数学的学习奠定重要基础。本文旨在对九年级数学的核心知识点进行系统梳理，并针对重点难点提供突破策略，助力同学们构建清晰的知识网络，提升解题能力。

一、知识点归纳

（一）一元二次方程

1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

2.解法：

*直接开平方法

*配方法

*公式法（求根公式：\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，其中判别式\(\Delta=b^2-4ac\)）

*因式分解法（提公因式法、公式法、十字相乘法）

3.根的判别式：\(\Delta0\)时，方程有两个不相等的实数根；\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根；\(\Delta0\)时，方程没有实数根。

4.根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)的两根为\(x_1,x_2\)，则\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)。

5.应用：解决增长率、面积、利润等实际问题。

（二）旋转

1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

2.性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。

3.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。

4.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

（三）圆

1.基本概念：圆、圆心、半径、直径、弦、弧（优弧、劣弧）、半圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角。

2.圆的对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形。

3.垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。及其逆定理。

4.圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

5.圆周角定理及其推论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

6.点与圆的位置关系：点在圆外、圆上、圆内。

7.直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。

*切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

*切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

8.三角形的外接圆与内切圆：外心（三边中垂线的交点）、内心（三内角平分线的交点）。

9.正多边形与圆：正多边形的中心、半径、边心距、中心角。

10.弧长和扇形面积公式：\(l=\frac{n\piR}{180}\)，\(S_{扇形}=\frac{n\piR^2}{360}=\frac{1}{2}lR\)。

（四）概率初步

1.随机事件：必然事件、不可能事件、随机事件。

2.概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的数。

3.古典概型：特点是所有可能结果有限且每个结果出现的可能性相等。概率计算公式：\(P(A)=\frac{事件A可能出现的结果数}{所有可能出现的结果总数}\)。

4.用列举法（列表法、树状图法）求概率。

5.利用频率估计概率：在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就叫做事件A的概率。

（五）反比例函数

1.定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k\neq0\)）的函数。

2.图像：双曲线。当\(k0\)时，图像在第一、三象限；当\(k0\)时，图像在第二、四象限。

3.性质：当\(k0\)时，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(k0\)时，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。图像关于原点中心对称。

4.比例系数\(k\)的几何意义：过反比例函数图像上任意一点作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，所得矩形的面积为\(|k|\)。

（六）相似

1.相似图形：形状相同的图形。

2.相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。

3.相似三角形的判定：

*平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

*三边成比例的两个三角形相似。

*两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

*两角分别相等的两个三角形相似。

4.相似三角形的性质：对应