高等数学自考试题及答案.docVIP

高等数学自考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）

A.\((1,+\infty)\)B.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,2)\cup(2,+\infty)\)D.\((2,+\infty)\)

答案：B

解析：要使函数有意义，则\(\ln(x-1)\neq0\)且\(x-1\gt0\)，即\(x-1\neq1\)且\(x\gt1\)，解得\(x\gt1\)且\(x\neq2\)，所以定义域是\((1,2)\cup(2,+\infty)\)。

2.当\(x\to0\)时，\(2x+x^2\)是\(x\)的（）

A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小

答案：C

解析：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{2x+x^2}{x}=\lim\limits_{x\to0}(2+x)=2\neq1\)，所以是同阶但不等价无穷小。

3.已知\(f(x)\)的一个原函数是\(e^{-x}\)，则\(f^\prime(x)=（）\)

A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{-x}\)D.\(-e^{-x}\)

答案：D

解析：因为\(f(x)\)的一个原函数是\(e^{-x}\)，则\(f(x)=(e^{-x})^\prime=-e^{-x}\)，所以\(f^\prime(x)=(-e^{-x})^\prime=e^{-x}\)。

4.设\(z=x^2y\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}=（）\)

A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)

答案：A

解析：把\(y\)看作常数，对\(x\)求导，\((x^2y)^\prime=2xy\)。

5.定积分\(\int_{0}^{1}x^2dx=（）\)

A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(3\)

答案：A

解析：\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}\)。

6.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=（）\)

A.\(1\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.发散

答案：A

解析：\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)，则\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots=1\)。

7.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(2,1,0)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=（）\)

A.\(4\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(7\)

答案：A

解析：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+2\times1+3\times0=4\)。

8.曲线\(y=x^3\)在点\((1,1)\)处的切线方程是（）

A.\(y=3x-2\)B.\(y=3x\)C.\(y=x\)D.\(y=2x-1\)

答案：A

解析：\(y^\prime=3x^2\)，在点\((1,1)\)处切线斜率\(k=3\times1^2=3\)，切线方程为\(y-1=3(x-1)\)，即\(y=3x-2\)。

9.函数\(y=\sinx\)在\([0,\pi]\)上满足罗尔定理的\(\xi=（）\)

A.\(0\)B.\(\frac{\pi}{2}\)C.\(\pi\)D.不存在

答案：B

解析：\(y=\sinx\)在\([0,\pi]\)上连续，在\((0,\pi)\)内可导，\(y(0)=y(\pi)=0\)，\(y^\prime=\cosx\)，令\(y^\prime=0\)，得\(\