数学分析方向导数与梯度.pptVIP

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第1页,共21页,星期日,2025年,2月5日讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题.一、方向导数(如图)第2页,共21页,星期日,2025年,2月5日如当沿着趋于时,称此极限为函数在点沿方向的方向导数.记为第3页,共21页,星期日,2025年,2月5日依定义,若函数在点存在偏导数,第4页,共21页,星期日,2025年,2月5日证明由于函数可微,则增量可表示为两边同除以得到第5页,共21页,星期日,2025年,2月5日故有方向导数第6页,共21页,星期日,2025年,2月5日解由方向导数的计算公式知第7页,共21页,星期日,2025年,2月5日故第8页,共21页,星期日,2025年,2月5日推广可得三元函数方向导数的定义第9页,共21页,星期日,2025年,2月5日第10页,共21页,星期日,2025年,2月5日二、梯度的概念(gradient)第11页,共21页,星期日,2025年,2月5日第12页,共21页,星期日,2025年,2月5日结论第13页,共21页,星期日,2025年,2月5日在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量第14页,共21页,星期日,2025年,2月5日类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数第15页,共21页,星期日,2025年,2月5日解由梯度计算公式得故第16页,共21页,星期日,2025年,2月5日?为什么是法向量,为什么指向函数值增加的方向?求等高线的斜率,可得法向量的斜率为f_y/f_x,可知梯度是法线上的向量。梯度方向本身是函数值增加的方向,可以由其方向导数大于0知道。

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