数值分析样条插值.pptVIP

数值分析样条插值第1页，共18页，星期日，2025年，2月5日

引例.sinx在区间[0，?]上的插值逼近1.二次插值2.两点埃尔米特插值3.分段埃尔米特插值x 0 ?/2 ?Sinx 0 1 0Cosx 1 0 –1x 0 ?Sinx 0 0Cosx 1 –12/18第2页，共18页，星期日，2025年，2月5日

x=-5:5;y=1./(1+x.^2);plot(x,y,x,y,o)x=-5:5;y=1./(1+x.^2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,b,x,y,ro)被插值函数:-5≤x≤53/18第3页，共18页，星期日，2025年，2月5日

x=[0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0];y=[0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0];n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,o)4/18第4页，共18页，星期日，2025年，2月5日

定义5.4给定区间[a,b]上的一个分划:a=x0x1…xn=b已知f(xj)=yj(j=0,1,···,n),如果满足:(1)S(x)在[xj，xj+1]上为三次多项式;(2)S”(x)在区间[a，b]上连续;(3)S(xj)=yj(j=0,1,···,n).则称S(x)为三次样条插值函数.5/18第5页，共18页，星期日，2025年，2月5日

当x∈[xj,xj+1](j=0,1,…n-1)时Sj(x)=aj+bjx+cjx2+djx3插值条件:S(xj)=yj(j=0,1,···,n)连续性条件:S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,···,n-1)S’(xj+0)=S’(xj-0)(j=1,···,n-1)S”(xj+0)=S”(xj-0)(j=1,···,n-1)由样条定义,可建立方程(4n-2)个！！n个三次多项式,待定系数共4n个！！方程数少于未知数个数？？6/18第6页，共18页，星期日，2025年，2月5日

(1)自然边界条件:S”(x0)=0,S”(xn)=0例5.7已知f(–1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求[–1，1]上的三次自然样条(满足自然边界条件).解设则有:–a1+b1–c1+d1=1,d1=0,a2+b2+c2+d2=1d1=d2,c1=c2,b1=b2(2)周期边界条件:S’(x0)=S’(xn),S”(x0)=S”(xn)(3)固定边界条件:S’(x0)=f’(x0),S’(xn)=f’(xn)7/18第7页，共18页，星期日，2025年，2月5日

由自然边界条件:–6a1+2b1=0,6a2+2b2=0解方程组,得a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0问题的解x=[-1,0,1];y=[1,0,1];f1=inline(0.5*x.^3+1.5*x.^2);f2=inline(-0.5*x.^3+1.5*x.^2);t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,o,[t1,t2],[p1,p2],’r’)Holdon,plot([t1,t2],[t1,t2].^2)y=x28/18第8页，共18页，星期日，2025年，2月5日

用分段Hermite两点插值推导样条已知函数表xx0x1······xnf(x)y0y1······yn设f(x)在各插值节点xj处的一阶导数为mj取xj+1–xj=h，(j=0,1,2,···,n).当x∈[xj,