数值分析非线性方程求解.pptVIP

阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第三种迭代格式比第二种迭代格式中的L要小，因而收敛要快得多，这与实际迭代结果完全吻合。故可取n=7，只需迭代7次就可达到所要求的精度。定理2.2应用举例（续）根据定理8.2可知，对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过10-6，可估计迭代次数：第29页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*应用举例Leonardo于1225年研究了方程曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。我们现在可用迭代法求解：还可用Newton法，弦截法求解第30页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*迭代法的收敛条件之三定理8.3第31页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*定理8.3强调迭代初值x0应取在根x*的邻域中。如果对任意给定的x0，迭代格式均收敛，则称此格式具有全局收敛性，但这样的格式是极其稀少的。如果对根x*的某邻域内的任一点x0，迭代格式均收敛，则此格式具有局部收敛性。即可保证对其中任取的一点x0迭代收敛。事实上，在用迭代法求解方程（8-1）时，常常先用对分区间求得较好的初值，然后再进行迭代。本定理给出的就是局部收敛性条件。具体解题时，虽然无法判别隔根区间是否为以x*为中心的邻域，但只要它足够小，且在邻域中满足：定理8.3（续）第32页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*2.3Steffensen方程——简单迭代法的加速收敛速度（收敛速度的阶）：成立，则称{xn}是r阶收敛的，或称{xn}的收敛阶为r，收敛阶r的大小刻划了序列{xn}的收敛速度：r越大，收敛越快: r=1线性收敛 r1超线性收敛 r=2平方收敛设序列{xn}收敛于x*，若存在正数r和a使得：第33页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*{xn}的r阶收敛定理定理8.4设迭代函数?(x)在x*邻近有r阶连续导数，且x*=?(x*)，并且有证明：1）?(x)满足收敛定理的条件?{xn}?x*；紧接下屏第34页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*定理2.4（续）2）利用Taylor公式将?(x)在x*附近展开：这表明：{xn}是r阶收敛的。一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：证毕！第35页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*1、Aitken加速法若序列{xn}线性收敛于x*，可按式：当n充分大时，有：紧接下屏第36页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*Aitken加速法（续）由此式可推导出：由此可得比值：第37页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*2、Steffensen加速收敛式将Aitken加速法与简单迭代格式xn+1=?(xn)相结合就得到Steffensen加速收敛式：当n??时，比值中分子趋于0的速度比分母趋于0的速度快，亦即分子是比分母高阶的无穷小，这表明{xn}比{xn}更快地收敛于x*。第38页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*例6的根，取x0=1.5，误差精度?=10?6。于是由x0=1.5，可计算：继续下去，在此可求x2,x3,…由此例题可见：Steffensen方法收敛很快，达到了加快收敛的目的。Steffensen加速收敛举例用Steffensen方法求方程：第39页，共63页，星期日，2025年，2月5日阜师院数科院第八章非线性方程求解8-*§3Newton法与弦截法3.1Newton法将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。设已知方程f(x)=0的近似根x0，f(x)在其零点x*邻近一阶连续可微，且f?(x)?0，当x0充分接近x*时，f(x