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强化专题2不等式恒成立、能成立问题
【方法技巧】
在解决不等式恒成立、能成立的问题时,常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数结
合法解决,方法灵活,能提升学生的逻辑推理,数学运算等素养.
一、法解决恒成立问题
⑴如图①一元二次不等式加+取+cO(aWO)在R上恒成立台一元二次不等式加+灰+cOmWO)的解集为
R㈡二次数juaP+〃x+cYaWOi的图象恒在x轴上方台),min0=)
J0.
⑵如图②一元二次不等式aF+后+cO(d70)在R上恒成立=一元二次不等式at?+〃戈+cO(aW0)的解集为
♦、。°,
R㈡二次数juad+H+cmWOi的图象恒在x轴下方=),1皿0分
0.
二、数结合法解决恒成立问题
结合数的图象将问题转化为教图象的对称轴,区间端点的数值或数图象的位置(相对于X轴)关系求
解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
二、分离参数法解决恒成立问题
通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求数最值问题.
四、主参换位法解决恒成立问题
转换思维角度,即把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的数,根据原变量的取值范围求解.
五、利用图象解决能成立问题
结合二次数的图象,将问题转化为端点值的问题解决.
六、转化为函数的最值解决能成立问题
能成立问题可以转化为〃?.Vmin或的形式,从而求的最大值与最小值,从而求得参数的取值范围.
【题型目录】
一、法解决恒成立问题
二、数形结合法解决恒成立问题
三、分离参数法解决恒成立问题
四、主参换位法解决恒成立问题
五,利用图象解决能成立问题
六、转化为数的最值解决能成立问题
【例题详解】
一、法解决恒成立问题
1.不等式(。-2)/+43-2)%-12〈0的解集为%则实数。的取值范围是()
A.{a\-\a2]B.{^|-1t?2}
l
C.{a\-\a2]D.{a\-\ai\
【答案】B
【分析】分类讨论。=2和〃工2两种情况,结合•元二次不等式的解法求解即可.
【详解】当。=2时,原不等式为-120满足解集为R;
当〃工2时,根据题意得。-20,.且△=16(a—2)2—4(a—2)x(_12)0,解得
综上,。的取值范围为{。|-1。42}.
故选:B.
2.若关于x的一元二次不等式2炉-履+?。对于一切实数x都成立,则实数太满足()
O
A.怦±gB,{小-闾C,卜卜石左网D,卜心石}
【答案】C
【分析】只需要满足条件A=(-Q2—4x2x]0即可.
O
【详解】由题意△=(—疔―4x2x:0,
O
整理可得,左2-30,解得-6k百.
故选:C.
3.(多选)不等式/+/状+c22X+/?对任意的xeR恒成立,则()
2B.Z?0
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