2025年专题 21.4一元二次方程的根与系数的关系[举一反三讲义]数学【人教版】九年级上学期.pdfVIP

专题21.4一元二次方程的根与系数的关系(举一反三讲义)

【人教版】

题型归纳

【题型1利用根与系数的关系直接求代数式的值】

【题型2利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】

【题型3利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】

【题型4利用根与系数的关系求参数的值】

【题型5利用根与系数的关系求参数的取值范围】

【题型6利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】

【题型7不解方程由根与系数的关系判断根的正负】

【题型8由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】

【题型9根与系数的关系与几何图形的综合运用】

【题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用】

举一反三

知识点一元二次方程根与系数的关系

1.由求根公式可得当△≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为

,则

x?+x?=-,xx?=“.

x=+12-4ae,x=-√2-4ae,

例如：方程x2+px+q=0的两根为x?,x?,则x?+x?=-p,x?x?=q.

2.一元二次方程根与系数的关系的应用

(1)不解方程，求关于方程两根的代数式的值.

(2)已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值.

(3)已知方程两根的关系，求方程中字母的值.

(4)与根的判别式相结合，解决一些综合题.

【题型1利用根与系数的关系直接求代数式的值】

【例1】(24-25九年级下·山东烟台·期中)

1.若a,b是关于x的方程x2-x-3=0的两实数根，则

的值为___.

+6

试卷第1页，共7页

【变式1-1】(24-25八年级下·安徽合肥·期中)

【变式1-2】(24-25八年级下·黑龙江大庆·期中)

【变式1-3】(24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习)

时，方程的两根记为α,β,则

【题型2利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】

【例2】(24-25八年级下·浙江杭州·期中)

【变式2-1】(2025·四川广安·中考真题)

【变式2-2】(24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习)

【变式2-3】(2025·湖北·一模)

【题型3利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】

【例3】(24-25九年级下·黑龙江绥化·期中)

9.已知α、β是方程x2+2x-1=0的两个实根，则a3+5β+2的值是_______.

【变式3-1】(24-25八年级下·安徽宣城·期中)

10.已知α、β是方程x2+4x+2=0的两个实根，则a3+14β+5的值是____.

【变式3-2】(24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习)

11.如果m,n是一元二次方程x2+x-3=0的两个根，那么多项式，2的

m3+3n-mn+3+2032

值是_____.

【变式3-3】(24-25九年级下·安徽芜湖·期中)

12.已知α,β是一元二次方程x2+x-3=0的两根，求a?-40β+3的值为____

试卷第2页，共7页

【题型4利用根与系数的关系求参数的值】

【例4】(24-25八年级下·浙江金华·阶段练习)

,则实数m的值为_________.

(x-1)(x?-1)=m-1,

【变式4-1】(24-25九年级下·江西九江·期中)

的值等于____.

【变式4-2】(24-25九年级上·江苏南通·阶段练习)

【变式4-3】(24-25九年级上·河南周口·期中)

值为____.

【题型5利用根与系数的关系求参数的取值范围】

【例5】(23-24八年级下·浙江金华·阶段练习)

17.若关于x的方程4x2-5x-(m+5)=0的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围

是__.

【变式5-1】(24-25九年级上·四川成都·阶段练习)

2x?x?x+x?,则m的取值范围是_____.

【变式5-2】(23-24八年级下·浙江嘉兴·期末)

x1x?,则实数a的取值范