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2026届上海闵行区高二数学第一学期期末综合测试试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{an}中，，公和为5，则（）

A.2 B.﹣2

C.3 D.﹣3

2．已知函数的导数为，且满足，则（）

A. B.

C. D.

3．在数列中，，，则（）

A.985 B.1035

C.2020 D.2070

4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

5．已知，则下列说法错误的是（）

A.若，分别是直线，的方向向量，则直线，所成的角的余弦值是

B.若，分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成的角的正弦值是

C.若，分别是平面，的法向量，则平面，所成的角的余弦值是

D.若，分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成的角的正弦值是

6．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（）

A.10 B.20

C.30 D.40

7．已知两圆相交于两点和，两圆的圆心都在直线上，则的值为

A. B.2

C.3 D.0

8．从编号为1~120的商品中利用系统抽样的方法抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号66的商品，则下列编号一定被抽到的是（）

A.111 B.52

C.37 D.8

9．已知等差数列中，、是的两根，则（）

A B.

C. D.

10．对于函数，下列说法正确的是（）

A.的单调减区间为

B.设，若对，使得成立，则

C.当时，

D.若方程有4个不等的实根，则

11．函数的单调递减区间是（）

A. B.

C. D.

12．在数列中，，则（）

A.2 B.

C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列满足，且，则______，数列的通项_____

14．过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______

15．展开式中，各项系数之和为1，则实数_______．（用数字填写答案）

16．已知函数满足：①是奇函数；②当时，．写出一个满足条件的函数________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷.每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”.例如第一次操作后的“康托尔三分集”为.

（1）求第二次操作后的“康托尔三分集”；

（2）定义的区间长度为，记第n次操作后剩余的各区间长度和为，求；

（3）记n次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为，若使不大于原来的，求n的最小值.

（参考数据：，）

18．（12分）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，离心率为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线与椭圆C交于P，Q两点，直线PA与QB的斜率分别为，，且，那么直线l是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由.

19．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

20．（12分）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，….（参考数据：，，.）

（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；

（2）将（1）中的递推关系表示成的形式，其中k，r为常数；

（3）求的值（精确到1）.

21．（12分）已知函数的图象在处的切