第一节常数项级数的概念和性质.pptVIP

第一节常数项级数的概念和性质第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日

1、理解常数项级数收敛、发散及和等概念；熟悉级数收敛的必要条件，了解常数项级数的性质，熟悉几何级数和P-级数的收敛性；2、掌握正项级数收敛的充要条件及其收敛准则（比较收敛法、比值收敛法和根值收敛法）；3、掌握交错级数的莱布尼兹收敛法，熟悉绝对收敛和条件收敛及一般项级数的收敛准则；4、熟悉函数项级数的收敛域、和函数等概念；基本要求：第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日

5、掌握幂级数的概念及阿贝尔收敛定理，熟悉幂级数的收敛域和收敛半径的求法，了解幂级数的运算性质（包含分析运算性质）；6、掌握泰勒定理，掌握将函数展开为泰勒级数（麦克劳林级数）的方法；7、熟悉函数为实数）的麦克劳林展开式；基本要求：（续）第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日

一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积§7.1常数项级数的概念与性质第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日

二、级数的概念1.级数的定义:(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和第5页，共22页，星期日，2025年，2月5日

2.级数的收敛与发散:第6页，共22页，星期日，2025年，2月5日

余项第7页，共22页，星期日，2025年，2月5日

解第8页，共22页，星期日，2025年，2月5日

收敛发散发散发散综上第9页，共22页，星期日，2025年，2月5日

解第10页，共22页，星期日，2025年，2月5日

对于无穷级数我们关心的是级数是否收敛,即:和是否存在(Sn的极限是否存)?判断级数敛散的步骤第11页，共22页，星期日，2025年，2月5日

由图可知第12页，共22页，星期日，2025年，2月5日

三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.第13页，共22页，星期日，2025年，2月5日

注意：第14页，共22页，星期日，2025年，2月5日

第15页，共22页，星期日，2025年，2月5日

证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.第16页，共22页，星期日，2025年，2月5日

证明注收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.收敛发散第17页，共22页，星期日，2025年，2月5日

故:级数发散。第18页，共22页，星期日，2025年，2月5日

8项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发散.第19页，共22页，星期日，2025年，2月5日

四、收敛的必要条件证明级数收敛的必要条件:第20页，共22页，星期日，2025年，2月5日

注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要非充分条件.发散.第21页，共22页，星期日，2025年，2月5日

讨论第22页，共22页，星期日，2025年，2月5日