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山东省德州市烟台市2022-2023学年高一数学上学期期中试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）

1．已知集合，，则（）

A． B． C． D．

2．已知x，，则“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A．， B．，

C．， D．，

4．已知a，b，c，，则下列命题中正确的是（）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

5．已知函数若，则是（）

A．奇函数，在和单调递增

B．奇函数，在和单调递减

C．偶函数，在单调递增，在单调递减

D．偶函数，在单调递减，在单调递增

6．已知函数若，则（）

A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或

7．定义在R上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（）

A． B．

C． D．

8．已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（）

A． B． C．或 D．或

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．若集合，且，则集合A可能是（）

A． B． C． D．

10．已知函数，，设函数则（）

A．是偶函数 B．方程有四个实数根

C．在区间上单调递增 D．有最大值，没有最小值

11．已知，，且，则（）

A． B． C． D．

12．已知函数的定义域为R，对任意的实数x，y，有，且当时，，则（）

A．

B．对任意的，恒成立

C．函数在上单调递增

D．若，则不等式的解集为

第Ⅱ卷（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知集合，，则B中元素的个数为______．

14．若命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是______．

15．已知，且，则的最小值为______．

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，．

①若函数，则的值域为______；

②若函数，则方程所有的解为______．

（本题第一空2分，第二空3分．）

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

已知函数的定义域为集合A，集合．

（1）求集合A；

（2）请在下面这两个条件中任选一个，补充在横线处，并给出问题的解答．

①充分条件，②必要条件．

是否存在实数m，使得是的______？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题满分12分）

已知是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）求不等式的解集．

19．（本小题满分12分）

已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．

（1）求，的解析式；

（2）设，根据定义证明：在上为增函数．

20．（本小题满分12分）

已知某企业原有职工500人，每人每年可为企业创利6.5万元．为应对新冠疫情给企业带来的不利影响，该企业决定实施减员增效策略，分流出一部分职工待岗，待岗人数不超过原有职工的4%，并且每年给每位待岗职工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗职工人数x不超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利万元；当待岗职工人数x超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利0.96万元．设该企业实施减员增效策略后，年利润为y（单位：万元）．．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）为使企业的年利润y最大，应安排多少职工待岗？

21．（本小题满分12分）

已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足．

（1）证明：；

（2）著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设．

①证明：；

②已知，求在上的最小值．

22．（本小题满分12分）

给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数．

（1）当，时，求的点；

（2）设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围；

（3）对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围．

2022-2023学年度第一学期期中学业水平诊断

高一数学参考答案

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的．）

1．B 2．A 3．D 4．D

5．C 6．A 7．A 8．B

二、