中考数学模型专练10 三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578模型【解析版】.pdfVIP

专题10.三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578模型

模型1、垂美四边形模型

规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形

B

DPCDC

A

P)

0

C

DABAB

图1图2图3

条件：如图1,已知四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD;

结论：①AB2+CD2=AD2+BC2;②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。

【变形1】

【变形2】

用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。

例1.(2023·山东枣庄·统考模拟预测)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”

B

A

0

CD

【答案】34

【详解】解：BBDBAC,BECOB=2AOB=a4OD=BCOD=90°,

在RI△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，

BO2+CO2=CB2,OD2+OA2=AD2,图BO2+CO2+OD2+OA2=9+25,

图AB2=BO2+AO2,CD2=0C2+OD2,图AB2+CD2=34;故答案为：34.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一

数学模型是解题关键.

AB=4,BC=5则CD的长为()

D

A

O

BC

A.2.5B.3C.4D.√13

【答案】D

可得出答案.

团CD=√13,故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键.

x2-16x+60=0的两个解，则四边形ABCD的面积是()

D

C

AB

A.60B.30C.16D.32

【答案】B

【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理

快速求解即可.

【详解】由题意可知：四边形ABCD的面积

s=AC×BD

BAC、BD是方程x2-16x+60=0的两个解，

,四边形ABCD的面积故答案为：B.

BAC×BD=xx=9=60,s=2×60=30,

【点睛】本题主要考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线

的成绩计算面积是解题关键.

下重要结论：AP2+CP2=BP2+DP2.该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明.

值为____.

A

ADAD

P

Dh

BlCBCCB

P

图1图2图3

【答案】4√3-2

的长度，当C、D、E三点共线时，AB的值最小，且为CE与CD长度之差，故AB最小值可求.

【详解】解：以AD、BD为边作矩形ADBE,连接CE、DE,如图所示：

A

E

D

CB

图3

【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线