湘教版九年级上册数学精品教学课件 极速提分法 第12招 证比例式或等积式的七种技巧.pptVIP

湘教版九年级上第12招证比例式或等积式的七种技巧

例如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：AC·CF＝CB·DF.

证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，∴CE＝EB＝DE.∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD.∴∠FDA＝∠FCD.

技巧1构造平行线法1．[2024·岳阳外国语学校模拟]如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：AE·CF＝BF·EC.

【点技巧】过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．

技巧2三点定型法

3．[2024·黔西南州期中]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于点D，交AB于点E.求证：AM2＝MD·ME.

技巧3等比过渡法4．如图，P是?ABCD的边BC的延长线上一点，AP分别交BD和CD于点M和点N.求证：AM2＝MN·MP.

技巧4构造相似三角形法5．[2024·惠州二中开学考试]如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG.

(1)求证：四边形ECDG是菱形；【证明】由折叠可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG.∵EG∥CD，∴∠DCG＝∠EGC.∴∠EGC＝∠ECG.∴EG＝EC.∴EG＝DC.∴四边形ECDG是平行四边形．∵EG＝EC，∴平行四边形ECDG是菱形．

(2)连接ED交AC于点O，求证：DC2＝OC·AC；

技巧5两次相似法6．[2024·海南华侨中学模拟]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC.点P是对角线BD上的一点．过点P分别作AD，CD的平行线，与AB交于点F，与BC交于点E.连接AE交BD于点G.

(2)当AD∶BC＝1∶3，PF∶AD＝1∶3，BD＝10时，求PG的长．【解】∵PF∶AD＝1∶3，设PF＝k，则AD＝3k.又∵AD∶BC＝1∶3，∴BC＝9k.

技巧6等积代换法7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.

技巧7等线段代换法8．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CF∥AB，点P是AD上一点，连接BP并延长，交AC于点E，交CF于点F.求证：BP2＝PE·PF.

【证明】如图，连接PC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.∴BP＝CP.∴∠1＝∠2.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.

9．[2024·怀化二中月考]如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.

【证明】如图，连接PA，∵EP是AD的垂直平分线，∴PA＝PD.∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.

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