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从问题解决到概念构建：“比差”概念的形成与启示

一、引言

1.1研究背景与问题提出

数学作为一门基础学科，其概念是构建整个数学体系的基石。数学概念的形成并非孤立的知识传授过程，而是与问题解决紧密相连。在数学学习与研究的漫长历史进程中，人们不断面临各种实际问题与理论困境，正是在尝试解决这些问题的过程中，众多数学概念得以逐步产生并发展完善。例如，古代人类在测量土地、分配物品等实际活动中，为了准确计算数量和比例关系，逐渐形成了整数、分数等基本数学概念；而在天文学研究中，为了精确描述天体的运动轨迹和位置关系，三角函数等概念应运而生。这表明数学概念的形成往往源于解决特定问题的需要，同时，这些概念又为后续解决更为复杂的问题提供了有力工具。

“比差”作为一个重要的数学概念，在实际生活和数学研究中都有着广泛的应用。在商业领域，商家通过计算成本与售价之间的比差，来确定商品的利润率，进而制定合理的价格策略，以实现利润最大化；在工程建设中，工程师需要根据材料的强度、重量等参数之间的比差，来选择合适的建筑材料，确保工程的质量与安全。然而，目前对于“比差”概念形成过程与问题解决之间具体关联的研究还相对较少，尤其是从认知心理学和数学教育的跨学科视角进行深入探究的成果更为稀缺。

基于此，本研究旨在深入探讨“比差”概念的形成过程，以及问题解决在这一过程中所发挥的作用与影响机制，期望能够丰富数学教育理论，并为数学教学实践提供有益的参考与指导。

1.2研究目的与意义

本研究的核心目的在于深入剖析问题解决活动在“比差”概念形成过程中的具体作用机制，揭示学生在面对实际问题时，如何通过分析、推理、抽象等思维活动，逐步构建并完善“比差”这一数学概念。具体而言，旨在探究学生在解决诸如商业利润计算、工程材料耗费评估等涉及比差关系的实际问题时，思维是如何从对具体情境的感知，过渡到对“比差”概念本质属性的理解与把握；明确问题解决过程中，哪些关键因素或环节对“比差”概念的形成具有显著影响；对比不同教学策略下，问题解决活动对学生“比差”概念掌握程度和应用能力的差异，从而为优化数学教学方法提供实证依据。此外，本研究还期望通过对“比差”概念形成的研究，进一步丰富和完善数学教育领域中关于概念形成与问题解决关系的理论体系。

从理论意义层面来看，深入研究问题解决与“比差”概念形成的关系，有助于拓展和深化数学教育理论。一方面，能够为数学概念形成理论提供新的实证支持和案例分析，丰富对概念形成机制的认识。传统数学概念形成理论多侧重于从抽象逻辑思维角度进行阐述，而本研究从问题解决这一实践活动切入，探讨概念形成过程，为理论研究开辟新的视角，有助于揭示数学概念形成过程中认知与实践相互作用的本质规律。另一方面，有助于完善数学教育中问题解决教学理论。明确问题解决在“比差”概念形成中的作用，能够细化问题解决教学理论中关于教学目标设定、教学策略选择以及教学效果评估等方面的内容，使其更具针对性和可操作性。

在实践意义上，本研究成果对数学教学实践具有重要的指导价值。对于教师而言，了解问题解决如何促进“比差”概念形成，能够帮助教师优化教学设计。在教学内容选择上，教师可以设计更多贴近生活实际、蕴含比差关系的问题情境，激发学生的学习兴趣和主动性。在教学方法运用上，教师能够根据学生在问题解决过程中的思维特点和概念形成规律，采用更有效的教学策略，如启发式教学、探究式学习等，引导学生自主构建“比差”概念，提高教学质量。对于学生来说，通过参与基于问题解决的学习活动，不仅能够更好地理解和掌握“比差”概念，提高数学学习成绩，还能培养其数学思维能力、问题解决能力和创新能力，这些能力将对学生今后的学习和生活产生深远影响。此外，本研究结果也可为数学教材编写者提供参考，使其在教材编写过程中，更加注重问题情境的创设和问题解决活动的设计，以促进学生对数学概念的理解与应用。

二、理论基础与文献综述

2.1数学概念形成的理论基础

2.1.1概念形成的一般理论

概念形成是人类认知发展中的一个关键过程，它指的是个体在对大量具体事物进行观察、比较、分析的基础上，抽象出其共同的本质属性，进而形成概念的过程。这一过程通常可划分为以下几个阶段：

在观察阶段，个体通过感官直接接触具体事物，获取丰富的感性材料。例如，儿童在认识水果时，会看到苹果的红色、圆形，触摸到其光滑的表皮，闻到其香甜的气味，这些感官体验构成了对苹果的初步印象。这一阶段是概念形成的起点，为后续的认知加工提供了原始素材。

随着观察的深入，个体进入比较阶段。在此阶段，个体将不同的事物进行对比，找出它们之间的相同点与不同点。如将苹果与香蕉相比较，会发现它们都是可食用的植物果实，但在形状、颜色、口感等方面存在差异。通过这样