3.1 函数的定义域、解析式和值域（解析版）.docxVIP

函数的定义域，值域，解析式训练

一、函数

1.函数的定义域、值域

在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．

2.构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

注意：相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．

（1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．

（2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数.

3.函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

二、函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

1.分式函数中分母不等于零. 2.偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

3.一次函数、二次函数的定义域均为R. 4.的定义域是.

三、函数的解析式

1.函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是的形式，可根据题目的条件转化为该形式.

2.求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

四、分段函数

1．分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

【重难点一 识别函数及区间的表示】

例1．已知区间，则实数a的取值范围是（????）

A．B．C． D．

【答案】A

【详解】由题意可知，，解得.

故选：A.

例2．判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数．

(1)，；

(2)，；

(3)，；

(4)，.

【答案】(1)不是集合A到集合B的函数

(2)是集合A到集合B的函数

(3)不是集合A到集合B的函数

(4)是集合A到集合B的函数．

【跟踪练习】

练习1．下列图象中，能表示函数图象的是（????）

??

A．①② B．②③ C．②④ D．①③

【答案】D

【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意，

对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义；

对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.故选：D．

练习4．用区间表示下列数集：

（1）；

（2）；

（3）且；

（4）；

（5）．

【答案】

【重难点二 求具体函数的定义域（含判断相同函数）】

例3．函数的定义域为．

【答案】且

【详解】要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，

解得且，即函数的定义域为且．

故答案为：且．

例4．下列各组中的两个函数为同一函数的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

求函数定义域的几种类型：

求函数定义域的几种类型：

（1）若是整式，则函数的定义域是R.

（2）若是分式，则应考虑使分母不为零．

（3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

（4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

（5）若是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

【跟踪练习】

练习1．求下列函数的定义域：

(1)

(2)

【答案】(1)(2)且且

【详解】（1）由题意知，，解得，故函数定义域为.

（2）由题意知，，解得且且，

故函数定义域为且且.

练习2．（多选）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

练习3．函数的定义域是．

【答案】

【详解】由题意，在中，，解得：且，

故答案为：.

练习4．函数的定义域为（写成集合形式）.

【答案】且

【详解】要使函数有意义，则，解得，且，

故答案为:且.

【重难点三 求抽象函数的定义域】

例5．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（????）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为函数的定义域是，

所以，且，解得.故选：A

例6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）

A．B．C． D．

【答案】C

【详解】对