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高考数学复习《利用导数解决恒成立问题》强化训练含答案

一、解答题

1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，为函数的两个零点，求证：．

2．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．

(1)函数与是否具有性质？并说明理由．

(2)已知函数与具有性质．

（i）求的取值范围；

（ii）证明：．

3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．

(1)若存在零点，求a的取值范围；

(2)若，为的零点，且，证明：．

4．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数．

(1)讨论的单调性．

(2)已知是函数的两个零点．

（ⅰ）求实数的取值范围．

（ⅱ）是的导函数．证明：．

5．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．

(1)求实数的取值范围；

(2)求证：．

6．（2023·福建龙岩·二模）已知函数，．

(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；

(2)若，且，证明：．

7．（2023·新疆·三模）已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．

8．（2023·上海松江·模拟预测）已知函数.

(1)若，求函数的极值点；

(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.

9．（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．

10．（2023·全国·模拟预测）已知函数.

(1)设函数，若恒成立，求的最小值；

(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.

11．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数.

(1)若函数为增函数，求的取值范围；

(2)已知.

（i）证明：；

（ii）若，证明：.

12．（2023·天津河西·模拟预测）已知．

(1)求在处的切线方程；

(2)对，有恒成立，求的最大整数解；

(3)令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求的取值范围，并证明：．

13．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，其中e为自然对数的底数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，有，求证：对，有；

(3)若，且，求实数a的取值范围．

14．（2023·浙江嘉兴·二模）已知.

(1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；

(2)若，设，证明：

①存在，使得成立；

②.

15．（2023·湖北咸宁·模拟预测）已知函数，其中.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数存在三个零点、、（其中），证明：

（i）若，函数，使得；

（ii）若，则.

16．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：

???????

①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；

②圆与曲线在点处有相同的切线；

③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；

则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．

(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线的曲率半径的最小值；

(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．

高考数学复习《利用导数解决恒成立问题》强化训练含答案

一、解答题

1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数.

(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；

(2)若，使成立，求的最小值.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；

（2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值.

【解析】（1）????????

设切点坐标为，则切线方程为，

因为切线经过原点，所以，解得，????

所以切线的斜率为，所以的方程为.

（2），，即成立，

则得在有解，

故有时，.????????

令，，，????????

令得；令得，

故在单调递减，单调递增，

所以，????????

则，故的最小值为.

2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若存在正数，使成立，求的取值范围；

(3)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立.

【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）计算，然后分类讨论即可得到单调性；

（2）对和两种情况分别讨论，即可得到取值范围是；

（3）首先证明单调递减，即得唯一性；然后求导证明对任意的，都有；而对任意的，都有.再利用该结论证明，从而得到存在性.最后综合两方面即证得结论.

【解析】（1）对求导得.

当时，对有，故在上单调