(人教A版数学必修二)2025秋季学期讲义第15讲拓展三：三角形周长(边长)与面积问题(学生版+解析).docxVIP

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第15讲拓展三：三角形周长（边长）与面积问题

题型01三角形周长（边）定值问题

【典例1】（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）在中，角所对的边分别为，已知，且．

(1)求的值；

(2)若的面积，求的值．

【典例2】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）在中角，，的对边分别为，，，且.

(1)求；

(2)若，的面积为，求的值.

【典例3】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且__________.

在①；②两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.

注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

(1)求；

(2)若外接圆的半径为的面积为，求的周长.

【变式1】（2023下·上海松江·高一统考期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．

(1)求的值；

(2)若的面积为，且，求a的值．

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)求；

(2)若的面积为且，求的周长.

【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知平面四边形ABCD，，，，的面积为．

(1)求；

(2)若，，求CD的长度．

题型02三角形周长（边）最值问题

【典例1】（2023上·重庆·高三重庆市育才中学校联考阶段练习）记的内角的对边分别为，已知（）.

(1)求；

(2)若是角的内角平分线，且，求周长的最小值.

【典例2】（2023上·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且.

(1)求角的值；

(2)已知点为的中点，且，求的最大值.

【典例3】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记的角的对边分别为，且．

(1)求；

(2)若，求的最小值．

【典例4】（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）在中，角的对边分别为，且.

(1)求角：

(2)已知D为边上一点，，且，求的最小值.

【变式1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知内角、、的对边为、、（其中），若.

(1)求角的大小；

(2)若点是边上的一点，，，求的最大值.

【变式2】（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

(1)求角的大小；

(2)若，求的周长的最大值．

【变式3】（2023上·辽宁·高三统考期中）如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．

(1)求；

(2)是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．

【变式4】（2023上·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，而且.

(1)求；

(2)求周长的最大值.

题型03三角形周长（边）范围问题

【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，.

(1)求的取值范围；

(2)若，求周长的取值范围.

【典例2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若D为边上一点，，．

(1)求角；

(2)求的取值范围．

【典例3】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．

(1)求角的值．

(2)求的取值范围．

【典例4】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.

(1)证明：；

(2)若，求的周长的取值范围.

【变式1】（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，若．

(1)求的值；

(2)若的面积为，求周长的取值范围．

【变式2】（2023上·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考阶段练习）已知的三内角所对的边分别是，向量，且．

(1)求角的大小；

(2)若，求三角形周长的取值范围．

【变式3】（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)证明：；

(2)求的取值范围.

【变式4】（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.

(1)求；

(2)若为的内心，求的取值范围.

??

题型04三角形面积定值问题

【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．

(1)求；

(2)若为的中点，且，求的面积．

【典例2】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

(1)求：的值．

(2)求：的值．

(3)若，求：的面积．

【典例3】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．

(1)求角C；

(2)若的平分线交AB于点D，且，求的面积．

【变式1】（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，已知.

(1)求；