(人教A版数学必修二)2025秋季学期讲义第14讲拓展二：三角形中线，角平分线问题(学生版+解析).docxVIP

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第14讲拓展二：三角形中线，角平分线问题

题型01三角形中中线长（定值）

【典例1】（2023下·辽宁·高一校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（????）

A．1 B．2 C． D．

【典例2】（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为.

【典例3】（2023下·浙江杭州·高二校联考期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求A；

(2)若，求中BC边中线AD长．

??

【变式1】（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知的面积为，则的中线长的一个值为.

【变式2】（2023下·河北·高一校联考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为.

??

【变式3】20．（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.

(1)求B；

(2)若，且的面积为，是的中线，求的长.

题型02三角形中中线长（最值，范围）问题

【典例1】（2023上·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）在中，，则边上的中线的长的取值范围是.

【典例2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在中，角A，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长度的最大值为．

??

【典例3】（2023上·辽宁大连·高三大连市第一中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.①2acosB+b-2c=0；②；③.在以上三个条件中选择一个，并作答.

(1)求角A；

(2)已知△ABC的面积为，AD是BC边上的中线，求AD的最小值.

【变式1】（2023下·云南昆明·高一校考期中）已知AD是的中线，若，，则的最小值是．

??

【变式2】（2023上·浙江·高二校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且，.

(1)求角；

(2)求边上中线长的取值范围.

题型03已知中线长，求其它元素

【典例1】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．

(1)求角的大小；

(2)若的中线，求的最大值．

【典例2】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为、、，.

(1)求；

(2)已知为边上的中线，，，求的面积.

??

【典例3】（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数.

(1)求的最小正周期和单调递减区间；

(2)已知中，内角的对边分别为，若边的中线长为，求面积的最大值.

【变式1】（2023上·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.

(1)求角；

(2)的中线＝，＝，求AB.

【变式2】（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足

(1)求角的大小；

(2)若，边上的中线的长为，求的面积.

【变式3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为．

(1)求；

(2)已知为边上的中线，，求的面积．

??

【变式4】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.

(1)求B；

(2)若的中线BD长为，求的最大值.

??

题型04求角平分线长（定值）问题

【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．已知ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝（????）

A． B． C． D．

【典例2】（2023·江西上饶·统考二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（????）

A． B． C． D．

【典例3】（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）在中，，，，的角平分线交于，则．

????

【典例4】（2023下·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.

(1)求角B的大小；

(2)若，.

（i）求的值；

（ii）求的角平分线的长.

【典例5】（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）在△ABC中，．

(1)求B的值；

(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

（i）求的值；

（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．

【变式1】（2023下·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（????）

A． B．2 C． D．

??

【变式2】（202