6.1.5 向量的线性运算.DOCXVIP

数学必修·第二册[人教B版]作业与测评

PAGE9

6．1.5向量的线性运算

知识点一向量的加法与数乘向量的混合运算

1．化简：

(1)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋3b))＝________；

(2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________；

(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,3)μ))(a＋b)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))(a＋b)＝________________．

答案：(1)a＋6b(2)5a＋5b(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)λ＋\f(4,3)μ))·(a＋b)

解析：(1)原式＝2×eq\f(1,2)a＋2×3b＝a＋6b.

(2)原式＝2a＋2b＋3a＋3b＝5a＋5b.

(3)原式＝λ(a＋b)＋eq\f(1,3)μ(a＋b)＋eq\f(1,2)λ(a＋b)＋μ(a＋b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)λ))(a＋b)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)μ＋μ))(a＋b)＝eq\f(3,2)λ(a＋b)＋eq\f(4,3)μ(a＋b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)λ＋\f(4,3)μ))(a＋b)．

知识点二向量的线性运算

2．3(2a－b)－2(a＋3b)的化简结果为()

A．4a＋3b B．4a－9b

C．8a－9b D．4a－3b

答案：B

解析：由题意，得3(2a－b)－2(a＋3b)＝4a－9b.故选B.

3．化简下列各式：

(1)eq\f(1,2)[(2a－3b)＋6a]－eq\f(1,3)(9a－6b)＝________；

(2)eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（4a－3b）＋\f(1,3)a－\f(1,4)（2a－3b）))＝________．

答案：(1)a＋eq\f(1,2)b(2)eq\f(23,9)a－eq\f(3,2)b

解析：(1)原式＝eq\f(1,2)(8a－3b)－eq\f(1,3)(9a－6b)＝4a－eq\f(3,2)b－3a＋2b＝a＋eq\f(1,2)b.

(2)原式＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)a－\f(1,2)a＋\f(3,4)b))

＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,3)－\f(1,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(3,4)))b))

＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23,6)a－\f(9,4)b))

＝eq\f(23,9)a－eq\f(3,2)b.

4．(1)若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,3)(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求y；

(2)已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝a，,2x－3y＝b，))其中a，b为已知向量，求x，y.

解：(1)因为2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,3)(c＋b－3y)＋b

＝2y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)c－eq\f(1,3)b＋y＋b

＝3y－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c

＝0，

所以3y＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c，

所以y＝eq\f(2,9)a－eq\f(2,9)b＋eq\f(1,9)c.

(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝a，①,2x－3y＝b，②))

由②，得y＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)b，代入①，得3x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(1,3)b))＝a，

∴3x＋eq\f(8,3)x－eq\f(4,3)b＝a，

∴x＝eq\f(3,17)a＋eq\f(4,17)b.

∴y＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,