2025 年中国数学奥林匹克协作体夏令营 A 水平试题及答案.docxVIP

2025年中国数学奥林匹克协作体夏令营A水平试题及答案

辽宁·大连

考试时间:2025年7月20日上午8:00-12:30

一、(本题满分50分)称实数α为“好数”,是指存在各项均为整数的数列ann∈N+,满足:对任意正整数n,均有an+1=αan,且an是偶数当且仅当n是偶数

(1)证明:若α是好数,则α1且α

(2)证明:存在无穷多个互不相同的好数.

二、(本题满分50分)设V是空间中若干个点构成的集合,其中任意四点不共面.某些点之间连有线段,记E为这些线段构成的集合.已知无论怎样将E所含每条线段染为红蓝两种颜色之一,都能找到V中的三个点构成三边均为红色或三边均为蓝色的三角形.、求E所含线段个数m的最小可能值.

三、(本题满分50分)如图,圆O1与圆O2外切于点T,过圆O2上一点X作圆O2的切线交圆O1于A,B两点.延长XT交圆O1于点S.在圆O1的弧TS上取一点C,延长SC与∠BAC的内角平分线交于点I.过A,T,X

四、(本题满分50分)记Sqa为正整数a在q进制下的各位数码之和,其中q是不小于2的正整数.求最大的正整数k,使得对正整数的任意无穷子集S,均存在正整数1q1q2?q100和S中的k个不同正整数a1,

五、(本题满分50分)给定正整数n.求最小的实数S,使得无论怎样将坐标平面xOy中的每个整点染为n种不同颜色之一,都一定存在三个不共线且颜色相同的整点A,B,C,满足△ABC

六、(本题满分50分)已知映射f:{1,2,?,301}→{1,2,?,301

f

求S=f1

2025年中国数学奥林匹克协作体夏令营A水平答案与评分标准

一、(本题满分50分)称实数α为好数,是指存在各项均为整数的数列ann∈N+,满足:对任意正整数n,均有an+1=αan,且an是偶数当且仅当n是偶数

(1)证明:若α是好数,则α1且α

(2)证明:存在无穷多个互不相同的好数.

(1)证明:我们分别证否α=1,

若α=1,则a2=±a1,从而

若α1,则αanan-1,从而

若α∈Z,则由a2是偶数以及a3=αa2可知

综合以上讨论,我们就证明了α1且α不是整数.

(2)证明:我们说明:对任意正偶数k,均有α=k+

定义β=k-k2-1,则α

a

则特征根方法表明数列an有递推关系a

不难验证a1=2k2-1是奇数且a2=4k3-3k是偶数,于是由递推式可知an是整数数列.又因为an+

最后验证递推式an+

α

则由an+1∈Z可知an+1

综上所述,我们就证明了存在无穷多个互不相同的好数.50分

二、(本题满分50分)设V是空间中若干个点构成的集合,其中任意四点不共面.某些点之间连有线段,记E为这些线段构成的集合.已知无论怎样将E所含每条线段染为红蓝两种颜色之一,都能找到V中的三个点构成三边均为红色或三边均为蓝色的三角形.求E所含线段个数m的最小可能值.

解:所求m的最小值为15.用图论语言重新叙述问题:

已知简单图G在任一红蓝二染色下均存在同色三角形,求G所含边数m的最小可能值.

一方面,六阶完全图G=K6满足要求且有15条边.这是拉姆塞(Ramsey)数R3,3=6的直接推论.事实上,抽屉原理表明:任取G的顶点u

若xy,yz,zx中有红色边,不妨设xy是红色边,则

若xy,yz,zx中无红色边,则它们都是蓝色边,从而

因此K6的任一红蓝二染色下均存在同色三角形,故m≤

另一方面,我们说明m≥15.考虑图G的色数χG

对G的所有顶点染色,使有边相连的顶点颜色不同所需的最少颜色个数.

若χG≥6,注意到任何两种不同颜色的顶点所成集合之间至少有一条边(否则可以将它们合并为同一种颜色),则m≥C62=15.若χG≤5,

将V1,V

将V1,V

不难验证上述对G所有边染色的方式下无同色三角形,因此χG≤5不能发生.这表明

综上所述,E所含线段个数m的最小可能值为15.50分

三、(本题满分50分)如图,圆O1与圆O2外切于点T,过圆O2上一点X作圆O2的切线交圆O1于A,B两点.延长XT交圆O1于点S.在圆