第二节维向量组的极大线性无关组.pptVIP

第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日定义1若向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示,则称向量组可由向量组线性表示，若向量组和可以互相线性表示，则称两个向量组等价一、等价的向量组第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日向量组可由线性表示，即第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日向量组可由线性表示等价于存在的矩阵使若向量组和等价第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日等价向量组的性质：1.自反性：一个向量组与其自身等价2.对称性：若向量组和等价，则向量组和等价。3.传递性：若向量组和等价，向量组和等价，则向量组和等价。第5页，共25页，星期日，2025年，2月5日定理1设中的两个向量组和若向量组可由线性表示，且，则向量组线性相关少的表示多的，多的一定线性相关注：1.,不能相等;2.时，结论不一定成立.（证明略）第6页，共25页，星期日，2025年，2月5日推论1若向量组可由向量组线性表示，又已知线性无关，则必有推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它们所含的向量个数相等注：若只是等价的向量组，它们所含的向量个数未必相等定理1的逆否命题：第7页，共25页，星期日，2025年，2月5日极大线性无关组等价定义二极大线性无关组定义如果一个向量组A的一个部分组满足下述条件：第8页，共25页，星期日，2025年，2月5日1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一2.向量组和其极大线性无关组等价(一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价)3.一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。注:第9页，共25页，星期日，2025年，2月5日三向量组的秩与矩阵的秩的关系定理2矩阵A的行初等变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系定义一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩.线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数.第10页，共25页，星期日，2025年，2月5日例2第11页，共25页，星期日，2025年，2月5日第12页，共25页，星期日，2025年，2月5日等于它的行向量组的秩.定理3矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也求向量组的最大无关组的步骤:第13页，共25页，星期日，2025年，2月5日例3：设有向量组(1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。(2)求向量组的一个极大线性无关组。(3)把其余向量表示成为该极大线性无关组的线性组合第14页，共25页，星期日，2025年，2月5日解：取(1)向量组即为A的列向量R(A)=2,所以向量组的秩为2。(2)为向量组的一个极大线性无关组(3)第15页，共25页，星期日，2025年，2月5日推论：设A为矩阵，秩，则有:(1)当r=m时，A的行向量组线性无关;当rm时，A的行向量组线性相关(2)当r=n时，A的列向量组线性无关;当rn时，A的列向量组线性相关。当A为n阶方阵时，即当m=n时，A的列(行)向量组线性无关的充要条件是由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们立刻会发现一个有趣的现象：第16页，共25页，星期日，2025年，2月5日3.5向量空间一、向量空间的定义定义1设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且那么就称集合V为向量空间.则a+b?V;若a?V,??R,则?a?V.若a?V,b?V,第17页，共25页，星期日，2025年，2月5日例1判别下列集合是否为向量空间.解第18页，共25页，星期日，2025年，2月5日