数值分析第一章.pptVIP

1.3.3数值运算的误差估计1、四则运算的误差估计两个近似数与,其误差限分别为及,它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为第31页，共58页，星期日，2025年，2月5日从而有的相对误差对于近似值，函数在舍去右边第二项得到即的绝对误差可以得到附近按泰勒展式展开得到2、函数误差估计当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的Taylor展开式进行估计。第32页，共58页，星期日，2025年，2月5日对绝对误差式两边取绝对值得故的相对误差限的误差限而解释：第33页，共58页，星期日，2025年，2月5日当为多元函数时计算,如果的近似值为,则的近似为于是函数值的误差由Taylor展开,得：多元函数的情况第34页，共58页，星期日，2025年，2月5日于是误差限为而的相对误差限为式(1)第35页，共58页，星期日，2025年，2月5日第36页，共58页，星期日，2025年，2月5日第37页，共58页，星期日，2025年，2月5日例8:已测得某场地长的值为,宽的值为,已知,.试求面积的绝对误差限与相对误差限.解:因其中由式(1)得第38页，共58页，星期日，2025年，2月5日而于是绝对误差限为相对误差限为第39页，共58页，星期日，2025年，2月5日3、算法的数值稳定性数值计算在设计算法时首先关心的是由它产生的计算结果的稳定性，而算法的稳定性与舍入误差是否增长密切相关。一个算法如果输入数据有微小扰动（即误差），而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称其为数值不稳定。第40页，共58页，星期日，2025年，2月5日例9：求定积分的值.解：直接积分可产生递推公式若取初值第41页，共58页，星期日，2025年，2月5日可得递推公式按公式就可以逐步算出Whathappened?!不稳定的算法！这就是误差传播所引起的危害!注意此公式精确成立，且第42页，共58页，星期日，2025年，2月5日第1页，共58页，星期日，2025年，2月5日1.认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应“公式多”的特点；

2.注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基本提法，逐步深入；

3.理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本线索，对最基本的算法要非常熟悉；

4.认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是为用于实际计算，必须真会算。如何进行学习？第2页，共58页，星期日，2025年，2月5日数值分析简史1955周恩来领导10年科技规划，提出发展几个新技术，包括计算技术（计算机，程序设计，计算数学），半导体技术，自动化技术。1956成立计算技术研究所筹备处，主任华罗庚，手下有两个组（计算机与计算数学）。在其领导下于数学所成立计算方法讨论班。1958计算所成立，带半军事性质，并且与苏联合作在中科院计算研究所造出104机。北大，吉大，复旦，南大相继成立计算数学专业。57－59年吉大聘请苏联梅索夫斯基开办讲义班，其中参与者有李荣华，冯果忱，李岳生，李庆扬，蒋尔雄，康立山，徐翠薇等。第3页，共58页，星期日，2025年，2月5日数值分析简史1977年开始写国内的教材李荣华，冯果忱《微分方程数值解》李岳生等《数值逼近论》曹志浩等《数值代数》和《矩阵计算与方程求根》这三门课程为1984年在国内几所重点大学开设的“计算数学及其应用软件专业主干课程。第4页，共58页，星期日，2025年，2月5日信息与计算科学简史1958年计算数学专业1984年“计算数学及其应用软件”加强计算机课程的分量1998年“信息与计算科学”