2026版创新设计高考总复习物理(人教基础版)教师用-增分微点3　等时圆模型.docxVIP

增分微点3等时圆模型

1.“等时圆”模型

所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。

2.模型的三种情况

(1)物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。

(2)物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。

(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，物体沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。

例1(2025·江苏泰州模拟)如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板AO、BO、CO，其下端都固定于容器底部O点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度BOAOCO。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑(忽略阻力)，则()

A.A处滑块最先到达O点 B.B处滑块最先到达O点

C.C处滑块最先到达O点 D.三个滑块同时到达O点

答案D

解析令半球形容器的半径为R，滑板的倾角为θ，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有mgsinθ=ma，根据位移公式有2Rsinθ=12gsinθ·t2，解得t=2Rg，可知时间t与滑板的倾角θ和滑板的长度均无关，三个滑块同时到达O点，故

例2(2025·甘肃张掖高三联考)如图所示，Oa、Ob、Oc是竖直面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环都从O点无初速释放，用t1、t2、t3依次表示滑环到达a、b、c所用的时间，则()

A.t1=t2=t3 B.t3t1t2 C.t1t2t3 D.t1t2t3

答案D

解析以O点为最高点，取合适的竖直直径Oe作等时圆，交Ob于b，如图所示，根据等时圆原理可知，O到f、b、g、e时间相等，比较图示位移，有OaOf，OcOg，可得t1t2t3，故D正确。

例3(2025·黑龙江哈尔滨高三联考)如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中B、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，B、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，A点在y轴上且∠AMO=60°，O为圆心，现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则()

A.tAtBtC

B.tA=tBtC

C.tAtB=tC

D.由于C点的位置不确定，故无法比较时间大小关系

答案C

解析对小球b，位移x1=2R，加速度a1=mgsin45°m=22g，根据x1=12a1tB2，得tB=2x1aB=4Rg;对小球a，位移x2=2R，加速度a2=gsin60°=32g，由x2=12a2tA2，得tA=2x2a2=8R3g，对小球c，设CM与竖直方向夹角为θ，

例4(2025·山东德州一中阶段检测)如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD。四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R。四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法正确的是()

A.圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短

B.圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长

C.四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同

D.四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同

答案C

解析设杆AB长为l，与水平方向的夹角为θ，圆环的质量为m，对圆环a，根据牛顿第二定律可得mgsinθ=ma，解得a=gsinθ，由运动学公式可得l=12at2，由几何关系可知l=2Rsinθ，解得t=4Rg，同理可得圆环b、c、d的下滑时间均为t=4R

例5(2025·四川省内江六中月考)如图所示，三根在竖直平面内的光滑细管A、B、C上端平齐，B管竖直放置，A管与B管的夹角为α，C管与B管的夹角为β，且αβ。三个小球同时从管口顶端静止释放，经过相同的时间，三球所处位置正确的是()

答案C

解析如图所示，ABCD为同一圆上的点，设圆的半径为R，小球从A沿光滑杆AB、AC、AD滑下，从AB下滑时，有2R=12gt12，解得t1=4Rg，从AC下滑，有a=gcosθ，而AC的长度为L=2Rcosθ，又L=12at22，解得t2=4Rg，同理若从AD下滑，时间为t3=4Rg，即小球到达圆上三点所用时间相同