2026人教A版高考数学一轮复习专练：平面向量基本定理及坐标表示.pdfVIP

第2节平面向量基本定理及坐标表示

考试要求1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐

标表示.3.会坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解坐标表示的平

面向量共线的条件.

■知识诊断自测

【知识梳理】

1.平面向量的基本定理

条件ei,e2是同一平面内的两个不共线向量

结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数力，丸2,使。=九g+/12©2

若ei,e2不共线,我们把｛ei,e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基

基底

底

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a=(xi,yi),b=g,yi),则

a+b=(xi+x2,yi+y2),a—Z=(XLX2,yi—Y2),^a=(Axi,Ayi,),lai=、/1+£.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,yi),B(X2,2),则检=(X2—XI,丫2-yi),I矗1=，(X2—XI)2+(丫2-yi)2.

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(x2,yi),向量a,Z(ZWO)共线的充要条件是制.一x2yi=0.

常［结论与微点提醒］

1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与力不共线，？la+〃方=0,则2=〃=0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的

向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“♦”或“X”)

(1)设a,8是平面内的一个基底，若实数力，h,〃2满足丸ia+〃山=i2a+〃2〃，

则丸1=丸2,〃1=〃2.()

(2)若a=(xi,yi),b=(X2,刈，则a的充要条件可以表示成三=意()

A2yz.

(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()

答案(1)V(2)X(3)V

解析(2)若8=(0,0),则葭=£无意义.

2.(必修二P31例7改编)已知a=(4,2),b=(6,y),且a〃4则y=.

答案3

解析因为a〃仇所以4y—2X6=0,解得y=3.

3.(必修二P30例5改编)已知平行四边形A3CD的顶点A(—1,—2),3(3,—1),

C(5,6),则顶点。的坐标为.

答案(1，5)

解析设D(x,y),则获=反，

得(3—■(—1),—1—(―2))=(4,1)=(5—尤，6—y),

4=5—x,%=1,

即《解得即。(1,5).

J=6—y,3=5,

4.14AABC中，点M,N^^AM=2MC,前=流.若疝=x赢薪,则%=

XF11

口木5一4

解析如图，2W=MC+C7V=|AC+^CB=1AC+^(G4+AB)=|AB—^AC,

■考占聚焦突破

考点一平面向量基本定理的应

例11（）2（024.安阳段测）在平行四边形A3CD中，点E,R分别在边CD,3上，

DE=