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函数的最大值与最小值

一、复习求函数极值的格式函数的极值点不是点，是导数为零时对应的x0分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.3.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充01如果在x0附近的左侧f/（x）0,右侧f/(x)0,那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f/(x)0,右侧f/(x)0,那么,f(x0)是极小值.1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:02

x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例:求函数的极值.解:函数的定义域为令,解得x1=-a,x2=a(a0).当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:

二、新课—函数的最值xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？

三、例题选讲例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令,解得x=-1,0,1.当x变化时,的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.

一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.

函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.0102

延伸1:设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b.解:令得x=0或a.当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f’(x)+0-0+f(x)-1-3a/2+b↗b↘-a3/2+b↗1-3a/2+b由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,在区间(a,1)f(x)为增函数，故需比较f(1)与f(0)的大小得最大值.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以

练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最大值和最小值.01答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.02

练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值.解:令,解得在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是

四、实际应用1.实际问题中的应用.在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.