2026人教A版高考数学一轮复习专练： 三角形高线、中线、角平分线的计算.pdfVIP

补上一课三角形高线、中线、角平分线的计算

题型分析解三角形是高考数学的必考内容，其中在三角形中增高线、中线、

角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考题中出现的频率很高，这类问题

一般需要综合使用正弦定理和余弦定理解决.

题型一三角形的高线

例1(2023•新高考I卷)己知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-Q=sinB.

⑴求sinA；

(2)设A3=5,求A3边上的高.

解法一(1)在△ABC中，A-\-B=n-C,

因为A+B=3C,

7T

所以3c=兀-G所以。=[

因为2sin(A—C)=sinB,

所以2sin,一§=sin序一A],

展开并整理得

地(sinA-cosA)=学(cosA+sinA),

得sinA=3cosA,

又sin2A+cos2A=1,且sinA0,

所以sinA=*°

⑵由正弦定理第=燕，

得3C=黑,sinA=^X^^=3#.

2

由余弦定理A32=AG+3G—2ACBCcosC,

2

整理得AC-3V10AC+20=0,

解得AC=或AC=2y[lQ.

由⑴得，tanA=3小，所以*A垓,

3兀兀

又A+B=丁，所以3不即C5,

所以A3AC,所以AC=2.

设A3边上的高为h,

则g.AB./z=T，ACBCsinC,

即5%=2/*3小X坐，解得人=6,

所以A3边上的高为6.

法二(1)在△ABC中，A+B=TI~C,

因为A+3=3C,

7T

所以3C=兀-G所以。=不

因为2sin(A—Q=sinB,

所以2sin(A-Q=sin[7i-(A+Q]=sin(A+Q,

所以2sinAcosC_2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

易得cosAcosCWO,

兀

所以tanA=3tanC=3tan4=3,

-sinA

99

又sinA0,tanA-7,sinA+cosA=1,

cosA

所以smA=]0.

⑵由⑴知tanA=30,所以A为锐角，

r..3V10伍卜，,VTo

又sinA—J。，所以cosA—J。，

所以sinB=sin(^—A^=-^(cosA+sinA)

_V2ryio,3y[id}_2y[5

-2110+10)5-

由正弦定理筮=器，

5X苧

ABsinB

得AC=H=2四,

sinC